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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Do 09.10.2008 | | Autor: | Dinker |
| Aufgabe | | http://www.onlinemathe.de/forum/Polynomfunktion-Wo-liegt-Fehler |
Eine Parabel 4. Ordnung hat im Nullpunkt einen Terassenpunkt und bei x=1 eine weiteren Wendepunkt. Sie schneidet die x-Achse mit der Steigung m = 4
Gesuch ist die Gleichung der Parabal
f(x) = a [mm] x^4 [/mm] + b [mm] x^3 [/mm] + c [mm] x^2 [/mm] + dx + e
f'(x) = 4a [mm] x^3 [/mm] + 3b [mm] x^2 [/mm] + 2xc + d
f''(x) = 12a [mm] x^2 [/mm] + 6bx + 2c
Bedingung: geht durch Nullpunkt, d. h,
0 = e
Bedingung hat im Nullpunkt einen Terrassenpunkt, d. h.
f'(0) = 0
f''(0) = 0
0 = d
0 = 2c
Nun mache ich mal die Funktionsgleichung etwas kürzer....
f(x) = a [mm] x^4 [/mm] + b [mm] x^3
[/mm]
f'(x) = 4a [mm] x^3 [/mm] + 3b [mm] x^2 [/mm]
f''(x) = 12a [mm] x^2 [/mm] + 6bx
Bedingung: Wendepunkt bei x = 1
f''(1)= 0
0 = 12a + 6b
Nun versuche ich die komplette Funktion durch a auszudrücken b = -2a
d. h.
f(x) = a [mm] x^4 [/mm] -a [mm] x^3
[/mm]
f'(x) = 4a [mm] x^3 [/mm] -6a [mm] x^2 [/mm]
versuche letzte Bedingung : Schneidet die X-Achse mit einer Steigung von m=4 einzubauen
f(x) = 0
0 = a [mm] x^4 [/mm] -a [mm] x^3
[/mm]
0 = [mm] x^3 [/mm] (ax-a) da komme ich auf die Werte x1 = 0 und x2 = 1
f'(x) = 4
4 = 4a - 6a
a = -2
Setze ich nun in Funktion ein
f(x)= -2x ^4 [mm] +2x^3
[/mm]
Kann mir jemand sagen, wo der Fehler liegt?
Besten Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Do 09.10.2008 | | Autor: | abakus |
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> http://www.onlinemathe.de/forum/Polynomfunktion-Wo-liegt-Fehler
> Eine Parabel 4. Ordnung hat im Nullpunkt einen
> Terassenpunkt und bei x=1 eine weiteren Wendepunkt. Sie
> schneidet die x-Achse mit der Steigung m = 4
> Gesuch ist die Gleichung der Parabal
>
> f(x) = a [mm]x^4[/mm] + b [mm]x^3[/mm] + c [mm]x^2[/mm] + dx + e
> f'(x) = 4a [mm]x^3[/mm] + 3b [mm]x^2[/mm] + 2xc + d
> f''(x) = 12a [mm]x^2[/mm] + 6bx + 2c
>
> Bedingung: geht durch Nullpunkt, d. h,
> 0 = e
>
> Bedingung hat im Nullpunkt einen Terrassenpunkt, d. h.
> f'(0) = 0
> f''(0) = 0
> 0 = d
> 0 = 2c
>
> Nun mache ich mal die Funktionsgleichung etwas kürzer....
> f(x) = a [mm]x^4[/mm] + b [mm]x^3[/mm]
> f'(x) = 4a [mm]x^3[/mm] + 3b [mm]x^2[/mm]
> f''(x) = 12a [mm]x^2[/mm] + 6bx
>
> Bedingung: Wendepunkt bei x = 1
> f''(1)= 0
> 0 = 12a + 6b
>
> Nun versuche ich die komplette Funktion durch a
> auszudrücken b = -2a
> d. h.
> f(x) = a [mm]x^4[/mm] -a [mm]x^3[/mm]
> f'(x) = 4a [mm]x^3[/mm] -6a [mm]x^2[/mm]
>
> versuche letzte Bedingung : Schneidet die X-Achse mit einer
> Steigung von m=4 einzubauen
Das heißt: in einem der Schnittpunkte mit der x-Achse (es gibt zwei davon, weil f(x) = a [mm]x^4[/mm] -a [mm]x^3[/mm] ZWEI Nullstellen hat,
ist die Ableitung 4. Welches sind die 2 Nullstellen?
Gruß Abakus
> f(x) = 0
> 0 = a [mm]x^4[/mm] -a [mm]x^3[/mm]
> 0 = [mm]x^3[/mm] (ax-a) da komme ich auf die Werte x1 = 0 und x2
> = 1
> f'(x) = 4
> 4 = 4a - 6a
> a = -2
>
> Setze ich nun in Funktion ein
> f(x)= -2x ^4 [mm]+2x^3[/mm]
>
> Kann mir jemand sagen, wo der Fehler liegt?
> Besten Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Do 09.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
> Nun versuche ich die komplette Funktion durch a
> auszudrücken b = -2a
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> d. h. f(x) = a [mm]x^4[/mm] -a [mm]x^3[/mm]
Und wo ist hier der Faktor $2_$ verblieben vor dem 2. Term? Daher erhältst Du später auch ein falsche Nullstelle.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Do 09.10.2008 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Hätte ich: f(x) = a [mm] x^4 [/mm] -2a [mm] x^3 [/mm] eingesetzt, dann sollte es stimmen?
Wäre ausser diesem kleinen Missgeschick sonst alles richtig?
besten Dank
Gruss
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