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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Fr 01.05.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Folgende Polynome sind soweit wie möglich zu zerlegen:
a, 2x³-5x²+4x-1
b, [mm] x^4-x³-x-1 [/mm] |
Hallo Zusammen,
diese Aufgabe soll ohne Raten der Nullstellen und ohne Taschenrechner gelöst werden, also auf einem relativ umständlichen Weg. Ich fange mit der Aufgabe a an:
a, 2x³ - 5x² + 4x - 1 in Normalform bringen
x³ - [mm] \bruch{5}{2} [/mm] + 2x - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
nun definiert sich p und q (Cardanische Formeln) wie folgt:
p:= [mm] 2-\bruch{(-\bruch{5}{2})²}{3} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{12}
[/mm]
q:= [mm] \bruch{2 (-\bruch{5}{2})³}{27} [/mm] - [mm] \bruch{2 (-\bruch{5}{2})}{3} [/mm] + [mm] (-\bruch{1}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{108}
[/mm]
Somit ergibt sich folgende Gleichung y³ - [mm] \bruch{1}{12} [/mm] + [mm] \bruch{1}{108} [/mm] = 0
Für D:= [mm] (\bruch{1}{108} \cdot{} \bruch{1}{2})² [/mm] + [mm] (-\bruch{1}{12} \cdot{} \bruch{1}{3})³ [/mm] = [mm] (\bruch{1}{216})² [/mm] + [mm] (-\bruch{1}{36})³ [/mm] = [mm] \bruch{1}{46656} [/mm] - [mm] \bruch{1}{46656} [/mm] = 0
Dadurch ergeben sich drei reelle Lösungen, von denen zwei identisch sind:
[mm] y_1 [/mm] = 2 [mm] \wurzel[3]{- \bruch{1}{216}} [/mm] = -2 [mm] \wurzel[3]{\bruch{1}{216}} [/mm] = [mm] 2(-\bruch{1}{6}) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{3}, [/mm] 6³ = 216
[mm] y_2 [/mm] = [mm] y_3 [/mm] = - [mm] \wurzel[3]{- \bruch{1}{216}} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{\bruch{1}{216}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
Da der Wurzelexponent ungerade ist, darf somit das Minuszeichen vor die Wurzel gezogen werden, denn Wurzel aus negativen Zahlen ist undefiniert. Würde diese Begründung passen?
Diese y-Werte eingesetzt in x = y + [mm] \bruch{5}{6} [/mm] ergibt:
[mm] x_1 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{5}{6} [/mm] = [mm] \bruch{3}{6} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] x_{2,3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6} [/mm] + [mm] \bruch{5}{6} [/mm] = 1
Somit kann das Polynom 2x³-5x²+4x-1 in folgende Linearfaktoren zerlegt werden: [mm] 2(x-1)(x-1)(x-\bruch{1}{2})
[/mm]
------------------
Bei Teilaufgabe b gestaltet sich das ganze noch schwieriger, hierbei lassen sich auch wiederum p und q definieren und zwar wie folgt:
p:= [mm] \bruch{3(-1)(-1)}{12 * 1²} [/mm] - [mm] \bruch{-1}{1} [/mm] = [mm] \bruch{5}{4}
[/mm]
q:= [mm] \bruch{8*0(-1)-3(-1)²}{24*1²} [/mm] - [mm] \bruch{27(-1)²(-1)-9(-1)*0(-1)+2*0³}{216*1³} [/mm] = 0
z ist eine beliebige Lösung der Gleichung z³ + [mm] \bruch{5}{4}z [/mm] + 0 = 0 -> [mm] z_1 [/mm] = 0
Mit y = 0 + [mm] \bruch{0}{6*1} [/mm] = 0
Fall 1: > 0
[mm] \bruch{-1}{1}*0 [/mm] - [mm] \bruch{-1}{1} [/mm] = 1 > 0
Somit ergeben sich vier Lösungen
[mm] x_{1,2,3,4} [/mm] = - [mm] \bruch{-1}{4*1} \pm \bruch{1}{2} \wurzel{2*0 + \bruch{(-1)²}{4*1²} - \bruch{0}{1}} [/mm] + [mm] \wurzel{\bruch{(-1)²}{8*1²}-\bruch{1}{2}*0 - \bruch{0}{4*1} \pm \left( \bruch{-1}{4*1} \wurzel{2*0 + \bruch{(-1)²}{4*1²} - \bruch{0}{1}} - \wurzel{0²- \bruch{-1}{1}} \right)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} \pm \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \wurzel{\bruch{1}{8} \pm (-\bruch{9}{8})}
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + i
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{5}}{2}
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{5}}{2}
[/mm]
[mm] x_4 [/mm] = i
Da es sich um reelle Koeffizienten handelt, treten die komplexen Nullstellen immer paarweise auf, somit müsste -i auch eine Nullstelle des Polynoms sein. Die Lösungen [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] stimmen, aber [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] sind keine Nullstellen des Polynoms, wo habe ich denn einen Fehler gemacht?
Die Linearfaktorenzerlegung müsste doch wie folgt lauten: (x+i)(x-i)(x - [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2})(x [/mm] + [mm] \bruch{1-\wurzel{5}}{2}) [/mm] ?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Fr 01.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Folgende Polynome sind soweit wie möglich zu zerlegen:
>
> a, 2x³-5x²+4x-1
>
> b, [mm]x^4-x³-x-1[/mm]
> Hallo Zusammen,
>
> diese Aufgabe soll ohne Raten der Nullstellen und ohne
> Taschenrechner gelöst werden, also auf einem relativ
> umständlichen Weg. Ich fange mit der Aufgabe a an:
>
> a, 2x³ - 5x² + 4x - 1 in Normalform bringen
>
> x³ - [mm]\bruch{5}{2}[/mm] + 2x - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> nun definiert sich p und q (Cardanische Formeln) wie
> folgt:
>
> p:= [mm]2-\bruch{(-\bruch{5}{2})²}{3}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{12}[/mm]
>
> q:= [mm]\bruch{2 (-\bruch{5}{2})³}{27}[/mm] - [mm]\bruch{2 (-\bruch{5}{2})}{3}[/mm]
> + [mm](-\bruch{1}{2})[/mm] = [mm]\bruch{1}{108}[/mm]
>
> Somit ergibt sich folgende Gleichung y³ - [mm]\bruch{1}{12}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{108}[/mm] = 0
>
> Für D:= [mm](\bruch{1}{108} \cdot{} \bruch{1}{2})²[/mm] +
> [mm](-\bruch{1}{12} \cdot{} \bruch{1}{3})³[/mm] = [mm](\bruch{1}{216})²[/mm]
> + [mm](-\bruch{1}{36})³[/mm] = [mm]\bruch{1}{46656}[/mm] - [mm]\bruch{1}{46656}[/mm] =
> 0
>
> Dadurch ergeben sich drei reelle Lösungen, von denen zwei
> identisch sind:
>
> [mm]y_1[/mm] = 2 [mm]\wurzel[3]{- \bruch{1}{216}}[/mm] = -2
> [mm]\wurzel[3]{\bruch{1}{216}}[/mm] = [mm]2(-\bruch{1}{6})[/mm] =
> [mm]-\bruch{1}{3},[/mm] 6³ = 216
>
> [mm]y_2[/mm] = [mm]y_3[/mm] = - [mm]\wurzel[3]{- \bruch{1}{216}}[/mm] =
> [mm]\wurzel[3]{\bruch{1}{216}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
>
> Da der Wurzelexponent ungerade ist, darf somit das
> Minuszeichen vor die Wurzel gezogen werden, denn Wurzel aus
> negativen Zahlen ist undefiniert. Würde diese Begründung
> passen?
>
> Diese y-Werte eingesetzt in x = y + [mm]\bruch{5}{6}[/mm] ergibt:
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]-\bruch{1}{3}[/mm] + [mm]\bruch{5}{6}[/mm] = [mm]\bruch{3}{6}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]x_{2,3}[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}[/mm] + [mm]\bruch{5}{6}[/mm] = 1
>
> Somit kann das Polynom 2x³-5x²+4x-1 in folgende
> Linearfaktoren zerlegt werden: [mm]2(x-1)(x-1)(x-\bruch{1}{2})[/mm]
>
> ------------------
>
> Bei Teilaufgabe b gestaltet sich das ganze noch
> schwieriger, hierbei lassen sich auch wiederum p und q
> definieren und zwar wie folgt:
>
> p:= [mm]\bruch{3(-1)(-1)}{12 * 1²}[/mm] - [mm]\bruch{-1}{1}[/mm] =
> [mm]\bruch{5}{4}[/mm]
>
> q:= [mm]\bruch{8*0(-1)-3(-1)²}{24*1²}[/mm] -
> [mm]\bruch{27(-1)²(-1)-9(-1)*0(-1)+2*0³}{216*1³}[/mm] = 0
>
> z ist eine beliebige Lösung der Gleichung z³ +
> [mm]\bruch{5}{4}z[/mm] + 0 = 0 -> [mm]z_1[/mm] = 0
>
> Mit y = 0 + [mm]\bruch{0}{6*1}[/mm] = 0
>
> Fall 1: > 0
>
> [mm]\bruch{-1}{1}*0[/mm] - [mm]\bruch{-1}{1}[/mm] = 1 > 0
>
> Somit ergeben sich vier Lösungen
>
> [mm]x_{1,2,3,4}[/mm] = - [mm]\bruch{-1}{4*1} \pm \bruch{1}{2} \wurzel{2*0 + \bruch{(-1)²}{4*1²} - \bruch{0}{1}}[/mm]
> + [mm]\wurzel{\bruch{(-1)²}{8*1²}-\bruch{1}{2}*0 - \bruch{0}{4*1} \pm \left( \bruch{-1}{4*1} \wurzel{2*0 + \bruch{(-1)²}{4*1²} - \bruch{0}{1}} - \wurzel{0²- \bruch{-1}{1}} \right)}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{4} \pm \bruch{1}{4}[/mm] + [mm]\wurzel{\bruch{1}{8} \pm (-\bruch{9}{8})}[/mm]
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + i
>
> [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{5}}{2}[/mm]
>
> [mm]x_3[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{\wurzel{5}}{2}[/mm]
>
> [mm]x_4[/mm] = i
>
> Da es sich um reelle Koeffizienten handelt, treten die
> komplexen Nullstellen immer paarweise auf, somit müsste -i
> auch eine Nullstelle des Polynoms sein. Die Lösungen [mm]x_3[/mm]
> und [mm]x_4[/mm] stimmen, aber [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] sind keine Nullstellen
> des Polynoms, wo habe ich denn einen Fehler gemacht?
>
> Die Linearfaktorenzerlegung müsste doch wie folgt lauten:
> (x+i)(x-i)(x - [mm]\bruch{1+\wurzel{5}}{2})(x[/mm] +
> [mm]\bruch{1-\wurzel{5}}{2})[/mm] ?
>
> Gruß
> itse
Hallo,
warum fragst du? Mulipliziere deine Linearfaktorzerlegung doch einfach mal aus.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Fr 01.05.2009 | | Autor: | itse |
> > Die Linearfaktorenzerlegung müsste doch wie folgt lauten:
> > (x+i)(x-i)(x - [mm]\bruch{1+\wurzel{5}}{2})(x[/mm] +
> > [mm]\bruch{1-\wurzel{5}}{2})[/mm] ?
> Hallo,
> warum fragst du? Mulipliziere deine Linearfaktorzerlegung
> doch einfach mal aus.
> Gruß Abakus
>
Wenn ich dies ausmultipliziere erhalte ich [mm] (x²+1)(x²-\wurzel{5}x+1) [/mm] = [mm] x^4-\wurzel{5}x³+2x²-\wurzel{5}x+1
[/mm]
Also ist dies nicht die Linearfaktorzerlegung. Was bringen mir eigentlich meine vier Lösungen am Ende, aus denen erhalte ich bei der Linearfaktorzerlegung auch nicht den Ursprungsterm?
Gruß
itse
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Hallo!
Zunächst - dein Vorgehen bei der ersten Aufgabe war richtig und du darfst einfach
[mm] $\sqrt[3]{-a} [/mm] = [mm] -\sqrt[3]{a}$
[/mm]
schreiben. Bei der zweiten Aufgabe kann ich nicht genau nachvollziehen, was du gerechnet hast. Allerdings müssten die Lösungen
[mm] $\pm i\quad\quad\mbox{und}\quad\quad\bruch{1\pm\sqrt{5}}{2}$
[/mm]
lauten.
Wenn du dich mit deinen Berechnungen auf z.B. die Vorgehensweise von ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia beziehst, können wir das natürlich nochmal durchsehen.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Sa 02.05.2009 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
ich beziehe mich nun auf die Vorgehenweise von Wikipedia. Die einzelnen Koeffizienten lauten:
A = 1, B = -1, C=0, D=-1, E=-1
Somit erhält man folgendes:
[mm] \alpha [/mm] = [mm] -\bruch{3}{8}
[/mm]
[mm] \beta [/mm] = [mm] -\bruch{9}{8}
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] = - [mm] \bruch{323}{256}
[/mm]
-> [mm] u^4-\bruch{3}{8}u²-\bruch{9}{8}u- \bruch{323}{256}=0
[/mm]
Bei der Zusammenfassung erhalte ich dann für P und Q:
P = [mm] \bruch{5}{4}
[/mm]
Q = 0
P [mm] \ne [/mm] 0
y = - [mm] \bruch{5}{6}(-\bruch{3}{8}) [/mm] + [mm] \bruch{\bruch{5}{4}}{3 \cdot{} \wurzel[6]{\bruch{125}{1727}}} [/mm] - [mm] \wurzel[6]{\bruch{125}{1727}} [/mm] = [mm] \bruch{5}{16}
[/mm]
U = [mm] \wurzel[6]{\bruch{125}{1727}}
[/mm]
w = [mm] \wurzel{-\bruch{3}{8} + 2 \cdot{} \bruch{5}{16}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
z = [mm] \bruch{-\bruch{9}{8}}{2 \cdot{} \bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] -\bruch{9}{2}
[/mm]
[mm] x_{1,2,3,4} [/mm] = [mm] -\bruch{-1}{4 \cdot{} 1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \left( \pm 1 \cdot{} \bruch{1}{2} \pm 1 \cdot{} \wurzel{- \left( -\bruch{3}{8} + 2 \cdot{} \bruch{5}{16} \right) - 2 \left( -\bruch{3}{8} \pm 1 \cdot{} \bruch{-\bruch{9}{8}}{\bruch{1}{2}} \right)} \right)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \left( \pm \bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{2} - 2 \left(\pm -\bruch{9}{4} \right)} \right)
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \left( \bruch{1}{2} + \wurzel{5} \right) [/mm] = [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \left( - \bruch{1}{2} - \wurzel{4i²} \right) [/mm] = -i
[mm] x_3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \left( - \bruch{1}{2} + \wurzel{4i²} \right) [/mm] = i
[mm] x_4 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \left( \bruch{1}{2} - \wurzel{5} \right) [/mm] = [mm] \bruch{1-\wurzel{5}}{2}
[/mm]
Dann müsste die Linearfaktorzerlergung in [mm] \IC [/mm] wie folgt lauten:
[mm] (x-i)(x+i)(x-\bruch{1+\wurzel{5}}{2})(x+\bruch{1-\wurzel{5}}{2})
[/mm]
Anscheinend mache ich beim Ausmultiplizieren einen Fehler:
[mm] (x²+1)(x²+\bruch{1-\wurzel{5}}{2}x -\bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] x - [mm] \bruch{(1+\wurzel{5})(1-\wurzel{5})}{4}) [/mm] = [mm] (x²+1)(x²-\bruch{2\wurzel{5}}{2} [/mm] + 2) = [mm] (x²+1)(x²-\wurzel{5} [/mm] + 2) ?
Oder kann man das Polynom x²-x-1 nicht als [mm] (x-\bruch{1+\wurzel{5}}{2})(x+\bruch{1-\wurzel{5}}{2}) [/mm] schreiben?
Gruß
itse
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Hallo!
Du machst einfach bei dem Rückschluss von deinen Lösungen auf die Linearfaktoren einen Fehler: Deine Nullstellen sind
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1-\sqrt{5}}{2}
[/mm]
und
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1+\sqrt{5}}{2}
[/mm]
also wird faktorisiert:
[mm] $(x-x_{1})*(x\red{-}x_{2}) [/mm] = [mm] \left(x-\bruch{1-\sqrt{5}}{2}\right)*\left(x-\bruch{1+\sqrt{5}}{2}\right) [/mm] = [mm] x^{2}-x-1$
[/mm]
Vele Grüße, Stefan.
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> Folgende Polynome sind soweit wie möglich zu zerlegen:
>
> a) 2x³-5x²+4x-1
>
> b) [mm]x^4-x³-x-1[/mm]
>
> diese Aufgabe soll ohne Raten der Nullstellen und ohne
> Taschenrechner gelöst werden, also auf einem relativ
> umständlichen Weg. Ich fange mit der Aufgabe a an:
>
> 2x³ - 5x² + 4x - 1 in Normalform bringen
>
> x³ - [mm]\bruch{5}{2}[/mm] + 2x - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> nun definiert sich p und q (Cardanische Formeln) .......
Hallo itse,
ich frage mich, ob es wirklich Sinn macht, für diese
Aufgaben so schweres Geschütz wie die Cardanischen
Formeln aufzufahren !
Ich zweifle ein wenig, ob dies wirklich so gemeint
war.
Beide Polynome haben nur ganzzahlige Koeffizienten.
In diesem Fall gilt der Satz:
"Wenn es ganzzahlige Nullstellen gibt, so sind diese
Teiler (in [mm] \IZ) [/mm] des konstanten Gliedes des Polynoms."
Nun ist ausserdem dieses konstante Glied bei
beiden Polynomen gleich -1. Als allfällige ganzzahlige
Nullstellen kommen deshalb bei beiden Polynomen
nur Eins oder minus Eins in Frage. Diese beiden
Werte kann man einsetzen und wird im ersten
Fall sofort fündig.
Dies ist keineswegs nur ein "Raten" der Nullstellen,
sondern eine systematische und einfache Suche.
Das zweite Polynom hat keine ganzzahligen reellen
Nullstellen. Falls es aber eine Gaußsche ganze Zahl
mit ganzzahligen Real- und Imaginärteilen als Lösung
haben sollte, müsste auch diese (in den Gaußschen
Zahlen) ein Teiler von -1 sein.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Sa 02.05.2009 | | Autor: | itse |
Ich dachte auch, dass die systematische Suche reicht, jedoch leider nicht. Somit auf dem umständlichen Wege.
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