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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:04 So 16.01.2011 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Wir betrachten im [mm] \IQ-Vektorraum P(\IQ) [/mm] der Polynome vom Grad [mm] \le3 [/mm] mit Koeffizienten aus [mm] \IQ [/mm] den UVR V:={p|p(0)=0}. Des weiteren betrachten wir in [mm] P_3(\IQ) [/mm] die Polynome
[mm] p_0:=x(x-1)(x-2), p_1:=(x+1)x(x-1), p_2:=(x+2)(x+1)x
[/mm]
a) Stellen sie das Polynom 6x als Linearkombination von [mm] p_0, p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] dar.
b) Beweisen sie, dass die Polynome [mm] p_0,p_1, p_2 [/mm] eine Basis von V bilden. |
Guten morgen,
ich habe einpaar Fragen und würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann.
zu a) Ich weiß zwar noch nicht wie das funktioniert (würde es dann entsprechend nachlesen), aber muss ich hier ein Koeffizientenvergleich machen?
zu b)
Wir haben schonmal:
[mm] V=\{p|p(0)=0\}=\{a_0+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3=p(x)|p(0)=0\}=\{a_0+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3|a_0=0\}
[/mm]
Ich hatte mir überlegt, dass ich die drei Polynome als Vektoren darstelle und gucke, ob sie linear unabhängig sind, aber wo ist dann der Bezug zu den Was ich als V "definiert" habe?
Danke im voraus
Lg
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> Wir betrachten im [mm]\IQ-Vektorraum P(\IQ)[/mm] der Polynome vom
> Grad [mm]\le3[/mm] mit Koeffizienten aus [mm]\IQ[/mm] den UVR
> V:={p|p(0)=0}. Des weiteren betrachten wir in [mm]P_3(\IQ)[/mm] die
> Polynome
>
> [mm]p_0:=x(x-1)(x-2), p_1:=(x+1)x(x-1), p_2:=(x+2)(x+1)x[/mm]
>
>
> a) Stellen sie das Polynom 6x als Linearkombination von
> [mm]p_0, p_1[/mm] und [mm]p_2[/mm] dar.
>
> b) Beweisen sie, dass die Polynome [mm]p_0,p_1, p_2[/mm] eine Basis
> von V bilden.
> Guten morgen,
>
> ich habe einpaar Fragen und würde mich freuen, wenn mir
> jemand helfen kann.
>
>
> zu a) Ich weiß zwar noch nicht wie das funktioniert
> (würde es dann entsprechend nachlesen), aber muss ich hier
> ein Koeffizientenvergleich machen?
>
Hallo,
ja, genau.
Schreibe [mm] 6x=ap_0 +bp_1 [/mm] + [mm] cp_2 [/mm] und mach dann einen Koeffizientenvergleich.
>
> zu b)
>
> Wir haben schonmal:
>
> [mm][mm] V=\{p|p(0)=0\}=
[/mm]
Ja. das sind die Polynome, die man als [mm] p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x [/mm] schreiben kann,
also [mm] V=\{p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x |a_3,a_2, a_1\in \IR\}.
[/mm]
Du kannst Dir überlegen, daß dieser VR die Dimension 3 hat.
> Ich hatte mir überlegt, dass ich die drei Polynome als
> Vektoren darstelle und gucke, ob sie linear unabhängig
> sind, aber wo ist dann der Bezug zu den Was ich als V
> "definiert" habe?
Wenn Du drei linear unabhängige vektoren eines dreidimensionalen Vektorraumes hast, hast Du eine Basis.
Gruß v. Angela
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>
> Danke im voraus
>
>
> Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 So 16.01.2011 | | Autor: | melisa1 |
danke für die schnelle Antwort. Ich habe die Aufgabe nun lösen können 
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