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| Aufgabe | 1. Es seien [mm] p_{1} [/mm] und [mm] p_{2} [/mm] zwei Polynome vom Grad kleiner gleich n. Außerdem gebe es [mm] z_{0}; z_{1},..., z_{n} \in \IC
[/mm]
(alle verschieden) mit [mm] p_{1}(z_{i}) [/mm] = [mm] p_{2}(z_{i}) [/mm] für alle i [mm] \in [/mm] {0,...,n}. Zeigen Sie, dass dann [mm] p_{1}(z) [/mm] = [mm] p_{2}(z) [/mm] für alle z [mm] \in \IC.
[/mm]
2. Es sei p ein Polynom mit p(x) [mm] \in \IR [/mm] für alle x [mm] \in \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass alle Koeffizienten von p reell sind. |
Was das theoretische der Mathematik angeht, bin ich nicht so der King :)
Würde mich über einen Ansatz und wie ich allgemein an so eine Aufgabe rangehen sollte, sehr freuen :)
Lieben Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> 1. Es seien [mm]p_{1}[/mm] und [mm]p_{2}[/mm] zwei Polynome vom Grad kleiner
> gleich n. Außerdem gebe es [mm]z_{0}; z_{1},..., z_{n} \in \IC[/mm]
>
> (alle verschieden) mit [mm]p_{1}(z_{i})[/mm] = [mm]p_{2}(z_{i})[/mm] für
> alle i [mm]\in[/mm] {0,...,n}. Zeigen Sie, dass dann [mm]p_{1}(z)[/mm] =
> [mm]p_{2}(z)[/mm] für alle z [mm]\in \IC.[/mm]
Was Dir an Hilfsmitteln zur Verfügung steht kann ich nicht wissen. Hattet Ihr den Fundamentalsatz der Algebra ?
Wenn ja, so betrachte das Polynom [mm] $p:=p_1-p_2$. [/mm] Welchen grad hat p ? Wieviele Nullstellen hat p ?
>
> 2. Es sei p ein Polynom mit p(x) [mm]\in \IR[/mm] für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
> Zeigen Sie, dass alle Koeffizienten von p reell sind.
Sei $p(z) = [mm] a_0+a_1z+...+a_nz^n$ [/mm] und $q(z) = [mm] \overline{a_0}+\overline{a_1}z+...+\overline{a_n}z^n$
[/mm]
Wieviele reelle Nullstellen hat $p-q$ ?
FRED
> Was das theoretische der Mathematik angeht, bin ich nicht
> so der King :)
> Würde mich über einen Ansatz und wie ich allgemein an so
> eine Aufgabe rangehen sollte, sehr freuen :)
>
> Lieben Gruß
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Was Dir an Hilfsmitteln zur Verfügung steht kann ich nicht
> wissen. Hattet Ihr den Fundamentalsatz der Algebra ?
Ja, hatten wir
> Wenn ja, so betrachte das Polynom [mm]p:=p_1-p_2[/mm].
>Welchen grad hat p ?
Ich würde sagen 0, da ja [mm] p_{1}(z_{i})= p_{2}(z_{i} [/mm] für alle i /in {0,...,n} und somit haben [mm] p_{1} [/mm] und [mm] p_{2} [/mm] den gleichen Grad, oder?
>Wieviele Nullstellen hat p ?
Somit hat dann auch p keine Nullstellen?
> Sei [mm]p(z) = a_0+a_1z+...+a_nz^n[/mm] und [mm]q(z) = \overline{a_0}+\overline{a_1}z+...+\overline{a_n}z^n[/mm]
>
> Wieviele reelle Nullstellen hat [mm]p-q[/mm] ?
Kann ich da nicht mit diesem Identitätssatz agumentieren...
[mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}z^{i}=\summe_{i=1}^{n} b_{i}z^{i} [/mm]
[mm] (b_{i}= \overline{a_i})
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{i}=b_{i}
[/mm]
Somit p-q = 0 reelle Nullstellen...
So richtig überzeugt bin ich nicht... hoffentlich ist das nicht zu falsch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Di 24.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Was Dir an Hilfsmitteln zur Verfügung steht kann ich nicht
> > wissen. Hattet Ihr den Fundamentalsatz der Algebra ?
>
> Ja, hatten wir
>
> > Wenn ja, so betrachte das Polynom [mm]p:=p_1-p_2[/mm].
> >Welchen grad hat p ?
> Ich würde sagen 0, da ja [mm]p_{1}(z_{i})= p_{2}(z_{i}[/mm] für
> alle i /in {0,...,n} und somit haben [mm]p_{1}[/mm] und [mm]p_{2}[/mm] den
> gleichen Grad, oder?
Zunächst wissen wir nur: p hat grad [mm] \le [/mm] n
>
> >Wieviele Nullstellen hat p ?
>
> Somit hat dann auch p keine Nullstellen?
Mein Gott , nicht raten und im Nebel stochern, Hirn einschalten: p hat doch die Nullstellen [mm] z_0, [/mm] ..., [mm] z_n
[/mm]
Also ist p ein Polynom vom grad [mm] \le [/mm] n mit n+1 Nullstellen
Was sagt nun der Fundamentalsatz dazu ?
>
> > Sei [mm]p(z) = a_0+a_1z+...+a_nz^n[/mm] und [mm]q(z) = \overline{a_0}+\overline{a_1}z+...+\overline{a_n}z^n[/mm]
>
> >
> > Wieviele reelle Nullstellen hat [mm]p-q[/mm] ?
>
> Kann ich da nicht mit diesem Identitätssatz
> agumentieren...
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{i}z^{i}=\summe_{i=1}^{n} b_{i}z^{i}[/mm]
Was soll das ????
Berechne mal [mm](p-q)(x)[/mm] für x [mm] \in \IR [/mm] (und vergesse nicht:p(x) $ [mm] \in \IR [/mm] $ für alle x $ [mm] \in \IR. [/mm] $)
FRED
> [mm](b_{i}= \overline{a_i})[/mm]
> [mm]\Rightarrow a_{i}=b_{i}[/mm]
> Somit p-q
> = 0 reelle Nullstellen...
>
> So richtig überzeugt bin ich nicht... hoffentlich ist das
> nicht zu falsch...
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Okay, hier hoffentlich ein besserer Ansatz für die 1.
Zusammengefasst:
p:= [mm] p_{1}-p_{2}
[/mm]
P hat Grad [mm] \le [/mm] n und hat die Nullstellen [mm] z_{0},...,z_{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] n+1 Nullstellen
Der Fundamentalsatz der Algebra aus unserer Vorlesung:
Sei n [mm] \in \IN [/mm] ohne die 0. Jede Gleichung
[mm] z^{n}+a_{1}z^{n-1}+...+a_{n-1}z+a_{n}= [/mm] 0
mit [mm] a_{1},...a_{n} \in \IC [/mm] hat mindestens eine Lösung in [mm] \IC.
[/mm]
So verstanden...
nochmal zu [mm] p(z):=p_{1}-p_{2}
[/mm]
Jetzt kann man ein Polynom ja auch mit den Linearfaktoren schreiben:
p(z)= [mm] a_{n} \produkt_{i=1}^{n} (z-z_{i})
[/mm]
Kann man dann vielleicht auch so schreiben:
p(z) = r(z) [mm] \produkt_{i=0}^{n} (z-z_{i}) [/mm] r(z) = Polynom
p hat dann Grad [mm] \ge [/mm] n+1, falls r(z) [mm] \not= [/mm] 0
Aber p hat den Grad [mm] \le [/mm] n, somit muss r(z)=0
Somit auch p(z) = 0 und [mm] p_{1}(z)-p_{2}(z) [/mm] = 0
Somit [mm] p_{1}(z)=p_{2}(z)
[/mm]
Mir scheints plausibel, aber vielleicht falsch aufgeschrieben?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 26.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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zu der 2ten:
Habe jetzt nochmal in eine andere Richtugn gedacht. Ich könnte das doch auch so schreiben:
Also wir haben ein p(x) [mm] \in \IR. [/mm] und
p(x) = [mm] w_{0}x^{n}+w_{1}x^{n-1}+...+w_{n-1}x+w_{n}
[/mm]
Jetzt behaupte ich dass [mm] w_{i} [/mm] = [mm] a_{i}+ib_{i} [/mm] ; [mm] w_{o} \in \IC
[/mm]
/Rightarrow p(x) = [mm] (a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}) [/mm] + [mm] i(b_{0}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+b_{n-1}x+b_{n}
[/mm]
Aber p(x) [mm] \in \IR
[/mm]
Somit: [mm] b_{0}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+b_{n-1}x+b_{n} [/mm] = 0
[mm] x^{1} \not= x^{2} \not=...\not= x^{n} \not= [/mm] 0
Daher: [mm] b_{0} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] =...= [mm] b_{n} [/mm] = 0
und somit [mm] w_{0}, w_{1},..., w_{n} \in \IR.
[/mm]
QED.
Wenn das richtig ist, freu ich mich echt, da hatte ich echt einen lange Leitung!
Mit dem p-q war mir nicht so klar...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 26.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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