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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Thomas87 |
| Aufgabe | Es sei V der Vektorraum aller Polynome mit Koeffizienten in [mm] \IR, [/mm] deren Grad höchstens gleich 2 ist. Wir Betrachten die Polynome
[mm] p_{1}(X)= [/mm] 1 + X, [mm] p_{2}(X)= [/mm] 1 - X, [mm] p_{3}(X)= [/mm] 1 + [mm] X^{2}, p_{4}(X)= [/mm] 1 + X + [mm] X^{2}, p_{5}(X)= [/mm] X.
(a) Zeigen Sie, dass es eine lineare Abbildung F: V [mm] \to \IR [/mm] mit den Werten [mm] F(p_{1}(X))= [/mm] 0, [mm] F(p_{2}(X))= [/mm] 2, [mm] F(p_{3}(X))= [/mm] 1, [mm] F(p_{4}(X))= [/mm] 0 gibt.
(b) Berechnen sie [mm] F(p_{5}(X)). [/mm] |
Mir ist klar, was eine lineare Abbildung und was gelten muss! Nur wie zeige ich (a)? Was ist der Ansatz?
LG.
Thomas
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> Es sei V der Vektorraum aller Polynome mit Koeffizienten in
> [mm]\IR,[/mm] deren Grad höchstens gleich 2 ist. Wir Betrachten die
> Polynome
> [mm]p_{1}(X)=[/mm] 1 + X, [mm]p_{2}(X)=[/mm] 1 - X, [mm]p_{3}(X)=[/mm] 1 + [mm]X^{2}, p_{4}(X)=[/mm]
> 1 + X + [mm]X^{2}, p_{5}(X)=[/mm] X.
>
> (a) Zeigen Sie, dass es eine lineare Abbildung F: V [mm]\to \IR[/mm]
> mit den Werten [mm]F(p_{1}(X))=[/mm] 0, [mm]F(p_{2}(X))=[/mm] 2, [mm]F(p_{3}(X))=[/mm]
> 1, [mm]F(p_{4}(X))=[/mm] 0 gibt.
>
> (b) Berechnen sie [mm]F(p_{5}(X)).[/mm]
> Mir ist klar, was eine lineare Abbildung und was gelten
> muss! Nur wie zeige ich (a)? Was ist der Ansatz?
Hallo,
such Dir aus den Polynomen [mm] p_i [/mm] eine Basis heraus.
Durch Angabe der Funktionswerte auf einer Basis ist die lineare Abbildung F eindeutig bestimmt.
Für die verbleibenden beiden Polynome mußt Du dann zeigen, daß sich deren Funktionswerte mit der Linearität vertragen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Aha, und wie suche ich mir aus Polynomen eine Basis?
LG.
Thomas
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> Aha, und wie suche ich mir aus Polynomen eine Basis?
Hallo,
ich hoffe, daß es kein Geheimnis ist, daß der betrachtete Raum die Dimension 3 hat.
Die Basis muß also drei Vektoren enthalten.
Nun suchst du so lange in den [mm] p_i, [/mm] bis Du drei zusammenhast, die linear unabhängig sind. Die lineare Unabhängigkeit kannst du über die Definition prüfen, wenn Dir nichts anderes einfällt (z.B. mithilfe der Koordinatenvektoren bzgl. der standardbasis.).
Die Suche nach den Basisvektoren kannst Du natürlich etwas gezielt betreiben. So wirst du nicht auskommen, ohne daß irgendwo auch [mm] x^2 [/mm] mit vorkommt.
Gruß v. Angela
>
> LG.
> Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Ok, weiß aber leider überhaupt nicht wie ich das mache! Kannst du mir mal ein Beispiel geben!? Habe so gut wie noch nie mit Polynomen gerechnet!
LG.
Thomas
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> Ok, weiß aber leider überhaupt nicht wie ich das mache!
> Kannst du mir mal ein Beispiel geben!? Habe so gut wie noch
> nie mit Polynomen gerechnet!
>
> LG.
> Thomas
Hallo,
was mußt Du denn zeigen, wenn Du zeigen willst, daß z.B. [mm] p_2, p_3, p_5 [/mm] linear unabhängig sind?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Dann muss ich zeigen, dass diese Polynome nicht durch ein anderes Polynom ausgedrückt werden kann!? Oder nicht!?
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> Dann muss ich zeigen, dass diese Polynome nicht durch ein
> anderes Polynom ausgedrückt werden kann!? Oder nicht!?
Hallo,
wie ist denn lineare Unabhängigkeit definiert?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Die Vektoren [mm] v_{1},..,v_{n} \in [/mm] V heißen linear unabhängig, wenn es Skalare [mm] a_{1},...,a_{n} \in [/mm] K gibt, die alle gleich 0 sind, so dass [mm] a_{1} v_{1} [/mm] + ... + [mm] a_{n}v_{n}= [/mm] 0 gilt.
LG.
Thomas
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> Die Vektoren [mm]v_{1},..,v_{n} \in[/mm] V heißen linear
> unabhängig, wenn es Skalare [mm]a_{1},...,a_{n} \in[/mm] K gibt,
> die alle gleich 0 sind, so dass [mm]a_{1} v_{1}[/mm] + ... +
> [mm]a_{n}v_{n}=[/mm] 0 gilt.
Um Himmelswillen! Ich hoffe, Du studierst nicht Mathematik... Einem armen Nebenfächler sei's vielleicht vergeben...
> Die Vektoren [mm]v_{1},..,v_{n} \in[/mm] V heißen linear
> unabhängig,
wenn aus [mm] a_1v_1+...+a_nv_n=0 [/mm] folgt, daß die Skalare [mm] a_i [/mm] allesamt =0 sind.
Du mußt also prüfen, ob aus [mm] a(1-x)+b(1+x^2)+cx=0 [/mm] folgt, daß a=b=c=0 gilt.
Wenn ja, dann sind sie unabhängig und somit aus Dimensionsgründen eine Basis.
Du bekommst es durch Koeffizientenvergleich heraus.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Nein, tut mir leid du hast mich falsch verstanden...ich wollte damit nur noch mal die Form hinschreiben^^ hehe Den Teil der linearen Unabhängigkeit habe ich schon verstanden!
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Achso, okay! Jetzt weiß ich auch was du meintest! Also, sie sind linear unabhängig und damit auch eine Basis!
Und wie verfahre ich jetzt weiter?
LG
Thomas
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> Achso, okay! Jetzt weiß ich auch was du meintest! Also, sie
> sind linear unabhängig und damit auch eine Basis!
> Und wie verfahre ich jetzt weiter?
Jetzt solltest Du Dich erinnern, daß F durch die Angabe der Werte auf dieser Basis eindeutig bestimmt ist.
Du mußt nun prüfen, ob die verbleibenden Wertepaare sich mit der Linearität von F vertragen.
schreibe also die verbleibenden [mm] p_i [/mm] also Linearkombination Deiner Basis, berechne ihren Funktionswert unter F und vergleiche.
Gruß v. Angela
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