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| Aufgabe | | Untersuche die Funkion [mm] $f(x)=x^4 -6x^2+8$ [/mm] nach Symmetrie, Verhalten im unentlichen, Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-Achse, Extremstellen, Wendestellen |
hallo,
ich habe eine Frage zur Polynomdivision, die man ja anwendet um die Nullstellen einer Funktion zu berechnen. Ich weiß wie man die Polynomdivision anwendet, aber bei dieser Funktion [mm] $f(x)=x^4 [/mm] - [mm] 6x^2+8$ [/mm] tritt plötzlich eine 0 auf und ich weiß nicht, wie man dann weiterrechnen muss.
folgendes habe ich bisher gerechnet: ich habe als erstes eine Nullstelle (hier +2) durch einsetzen in die Funtkion [mm] $f(x)=x^4 [/mm] [mm] 6x^2 [/mm] +8$ ermittelt. dann habe ich so weitergerechnet:
(x4+1x3-6x2+x+8):(x-2)= x3 + 3x2 ... ?
-(x4- 2x3)
------------
3x3
-(3x3-6x2)
-------------
0
ab hier weiß ich nicht, wie es weiter geht. da ja immer noch x+8 übrig sind. ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann, vielen dank im vorraus
SunShine_89
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:23 So 02.09.2007 | | Autor: | SunShine_89 |
hi,
ich habe das immer noch nicht so ganz verstanden, dass man für die fehlenden Werte 0 nimmst anstatt 1 ist mir jetzt klar. ich habe das jetzt nochmal mit der Polynomdivision gerechnet, aber mein Ergebnis hat einen Rest.
Mit der pq-Formel zu lösen ist sicher am einfachsten, jedoch verstehe ich nicht wie Du zu dem Ergebnis gekommen bist:
z2 - 6 * z - 8=0
wie bist du auf -8 gekommen?
mein ergebis ist so: x² (x²-6)+8 aber so kann man es ja noch nicht für die pq-formel anwenden!
gruß SunShine_89
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 So 02.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sunshine!
> ich habe das jetzt nochmal mit der Polynomdivision
> gerechnet, aber mein Ergebnis hat einen Rest.
Dann solltest Du hier mal Deinen Rechenweg posten.
> wie bist du auf -8 gekommen?
Tippfehler meinerseits: das muss natürlich [mm] $\red{+} [/mm] \ 8$ heißen.
Gruß
Loddar
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Hallo Loodar,
hier der Rechenweg:
(x4+0x3+6x2+0x+8):(x-2)=x3+2x2+10x-20
-(x4-2x3)
-----------
2x3
-(2x3-4x2)
-------------
10x2
-(10x2+20x)
---------------
-20x
-(-20x-20)
-------------
28
nach meiner Rechnung (wenn sie stimmt?) bleibt ein Rest von +28
gruß Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 So 02.09.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du hast die falsche Funktionsvorschrift genommen.
Es muss doch heißen [mm] $f(x)=x^4-6x^2+8$ [/mm] und du hast anscheinend mit [mm] $+6x^2$ [/mm] gerechnet.
In deiner Funktionsvorschrift ist die 2 auch keine Nullstelle, deshalb bleibt ein Rest bei der Polynomdivision über.
Zudem hast du dich noch einmal verrechnet: Es muss anstatt
10x2
-(10x2+20x)
in der zweiten Klammer -20x heißen.
LG
Kroni
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hallo Kroni,
ja, du hast recht, ich habe die aufgabe falsch abgeschreiben* ich dusel* ,
aber 2 ist wirklich eine Nullstelle der Funktion, weil:
f(x)= x4-6x2+8
f(2)= 16- 24 + 8
f(x)= +24 -24
f(x)= 0
gruß SunShine_89
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 So 02.09.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn du die "richtige" Funktionsvorschrift nimmst, ist 2 eine Nullstelle. Meine Aussage vorhin mit dem "keine Nullstelle und deshalb Rest" bezog sich auf deine falsche Funktionsvorschrift.
LG
Kroni
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hi,
achso, dann hast du natürlich recht^^ ich war nen bisschen durcheinander
ich habe es jetzt richtig ausgerechnet und das ergebnis geht auch auf:
(x4+0x3-6x2+0x+8):(x-2)=x3+2x2-2x-4
-(x4-2x3)
-----------
2x3
-(2x3-4x2)
------------
-2x2
-(-2x2+4x)
-------------
-4x
-(-4x+8)
-----------
0
bis hierhin ist jetzt ja alles richtig, jedoch fehlen ja noch die anderen Nullstellen. Jetzt müsste ich ja mit der neuen Gleichung f(x)=x3+2x2-2x-4 die neue Nullstelle ermitteln und dann eine weitere Polynomdivision durchführen richtig?
ich habe mehere werte eingesetzt, aber ich habe keine weitere Nullstelle für diese gleichung f(x)=x3+2x2-2x-4 gefunden. kennst du die nullstelle?
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Hallo SunShine,
ja das Ergebnis deiner PD stimmt nun endlich 
Auch hast du recht mit der weiteren Vorgehensweise.
Was eine weitere Nusstelle von [mm] x^3+2x^2-2x-4 [/mm] angeht, so vielleicht mal ein genereller Tipp:
Also [mm] \underline{wenn} [/mm] es hier eine ganzzahlige Nullstelle gibt, so ist sie ein ganzzahliger Teiler des Absolutgliedes (dasjenige ohne x), also von -4
Potentielle ganzzahlige Nullstellen sind also nur [mm] \pm1,\pm2\pm4
[/mm]
Das verkürzt das Probieren doch erheblich.
Falls es keine weiteren ganzzahligen Nullstellen gibt, hilft leider nur ein Näherungsverfahren, zB. das Newtonverfahren
Aber ich denke, hier kommst du mit Probieren auf eine weitere ganzzahliger NST - dann PD und so weiter...
LG
schachuzipus
Gruß
schachuzipus
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hallo schachuzipus,
vielen dank für deine hilfe - ich habe nachgerechnet -2 ist tatsächlich eine nullstelle :) jetzt kann ich die aufgabe ohne problem weiterrechnen ... ein glück das es ein matheforum gibt:)
lg SunShine_89
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 So 02.09.2007 | | Autor: | ron |
Hallo,
habe den Post von dir gelesen und du machst dir wirklich viel Arbeit, wirklich toll dein Einsatz!!
Der letzte Hinweis zu der Suche von Nullstellen ist sehr gut um die Raterei an dieser Stelle kürzer zu fassen.
Einen weitere möchte ich dir aufzeigen:
Wenn f(x) zum Beispiel für x= -4 (Hier: f(-4)= -28) und x= 2 (Hier: f(2)= +8)
Dann liegt zwischen -4 und +2 mindestens eine Nullstelle. Dies kannst du mit dem Tipp zuvor gut kombinieren.
Damit du deine Rechnung überprüfen kannst setze mal x = -2 ein in deine Funktion [mm] x^3-2x^2-2x-4 [/mm] nach der ersten Polynomdivision!
Danach nutze die Verfahren für die Bestimmung von Nullstellen bei quadratischen Gleichungen: Ausklammern, pq-Formel oder Quadratische Ergänzung um vielleicht fehlenden Nullstellen zu bestimmen.
Achtung: Eine rationale Funktion vom Grad 4 (wie hier) kann nicht mehr als 4 Nullstellen haben, ABER immer weniger bis gar keine (Zeichne mal [mm] x^2+3, [/mm] wieviele Nullstellen könnten es maximal sein und wieviele sind es wirklich!!)
MfG
Ron
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hallo,
@ron, danke, ich komme wirklich nur sehr langsam weiter ...
und ich habe doch noch eine letzte Frage, da ich schon wieder nicht weiterkomme - mathe ist halt nicht mein Fach!!!
ich habe bis jetzt so weitergerechnet(ìn die polynomdivision habe ich jetzt die nullstelle -2 eingesetzt):
(x3+2x2-2x):(x+2)=x2
-(x3+2x2)
------------
0
wie am anfang schon, wo ich dieses problem mit der plötzlich auftauchenden 0 hatte, ich habe es nachgerechnet, und bin ímmer wieder auf das gleiche ergebnis gekommen, jedoch ist die aufgabe ja noch nicht ganz gelöst, weil ja immer noch -2x in der Klammer steht.
Ich weiß nicht wie man das weiterrechnet ... könnt ihr mir helfen?
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Holla,
wo hast du denn die -4 gelassen??
Einfach unterschlagen?
die Nullstelle x=-2 stimmt, also - richtig erkannt - ist eine PD durch (x+2) vonnöten
Also
[mm] (x^3+2x^2-2x\red{-4}):(x+2)=x^2...
[/mm]
Dein Anfang war, bis auf die unterschlagene -4, richtig, setze hier nochmal an, dann geht das schön auf und es bleibt was lecker Quadratisches übrig, das du mit den "Standardverfahren (p/q-Formel o.ä.) weiter verarzten kannst...
LG
schachuzipus
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hi,
ops, ja habe vergessen die -4 einzutippen, aber nochmal zu der 0 zurück, wie schreibt man das weiter wenn dann plötzlich eine 0 unter dem strich auftaucht?
muss ich dann 0*x nehmen? - ist das dann gleich 0 und dann 0*+2 ist ja auch wieder 0 !!! wie soll ich das weiterreichnen?
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Hi,
nach dem ersten Schritt bleibt "unterm Strich" ne 0
Dann hole einfach das -2x-4 von oben "runter" und schaue, wie du das mit dem (x+2) weiter "verarbeiten" kannst...
Bist doch beinahe schon fertig
LG
schachuzipus
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hi,
also ist das richtig wenn ich schreibe:
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0 -2x
-(-2x)
--------
0
und ergebnis x2 -2
und die weiteren nullstellen waren dann ja 1 und -1^
jetzt habe ich es endlich:)
vielen dank, du hast mir sehr geholfen
lg SunShine_89
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 So 02.09.2007 | | Autor: | ron |
Hallo,
sorry, dass ich mich ausgeklinkt hatte, dachte nach dem die sehr gute Polynomdivision um 14:43 auf dem Blatt stand, wären die Probleme nicht so groß!?
Bitte schaue nochmal auf die ausführliche Lsg der Polynomdivision, dort sind einige Nullen (zur Erinnerung: [mm] 0*x^t [/mm] mit t [mm] \in \IZ [/mm] immer Null) eingefügt, dann im Verlauf von diesen Teilergebnisse abgezogen worden, diese Systematik muss sitzen. Die Vorzeichen und die Missachtung der Restterme sind die größten Fehlerquellen bei Schülern, wie du selbst gesehen hast. Dies kann am besten durch Übung geschaft werden. Bitte nur Aufgaben wählen von denen die richtige Lösung bekannt ist.
Schreibe diese Rechnung zur Bestimmung der Nullstellen sauber auf als Leitfaden, ist wirklich nicht so lang.
Ein Trost, die "Sicherheit" in Mathe ist bei mir jahrelanges üben und ist mir auch nicht so zugeflogen, bei Leibe nicht.
Ciao
Ron
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