Polynom und Taylor < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Di 11.10.2005 | | Autor: | Gero |
Hi @ all,
ich schreibe in etwa 2 Wochen eine Klausur in Ana und hab noch ein paar Problemchen bei ein paar Aufgaben, die ich hier mal aufteilen werde.
Also 1. Aufgabe:
"Zeigen Sie, dass das Polynom [mm] p(x)=x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0} [/mm] für [mm] \overline{a} [/mm] = [mm] (a_{2}, a_{1}, a_{0})=(-2, [/mm] -5, 6) eine einfache Nullstelle bei 1 besitzt. Zeigen Sie weiter, dass p eine eindeutig bestimmte Nullstelle [mm] \lambda(a_{2}, a_{1}, a_{0}) [/mm] nahe bei 1 besitzt, falls [mm] (a_{2}, a_{1}, a_{0}) [/mm] in einer geeigneten Umgebung von [mm] \overline{a} [/mm] liegt. Beweisen Sie, dass [mm] \lambda [/mm] stetig diffbar ist und geben Se die Taylorentwicklung von [mm] \lambda(\overline{a} [/mm] + h) in Potenzen von h in erster Ordnung an."
Also meine Fragen:
1.) Ich denke es reicht nicht, wenn ich durch Polynomdivision zeige, dass 1 eine einfache Nst. ist, oder?
2.) Ich denke mal, der 2. Teil hat was mit dem Satz über implizite Funktionen zu tun, oder nicht? Hätte mir da jemand vielleicht einen Ansatz?
3.) Oje, Taylor! Der war schon in Ana 1 ein rotes Tuch für mich. Und jetzt im mehrdimensionalen ist das natürlich nicht einfacher. Kann mir da vielleicht jemand helfen?
Ich weiß das sind viele Fragen, aber ich komm einfach auf keinen grünen Zweig! Ich danke euch schonmal im voraus!
Liebe Grüße
Gero
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Di 11.10.2005 | | Autor: | noebi |
Zu 1: Wenn du die Polynomdivison anwendest, erhältst du eine quadratische Gleichung. Wenn es bei dieser zwei verschiedene Lösungen gibt, die beide nicht x=1 sind, hast du drei verschiedene, also eindeutige Nullstellen. Eine doppelte Nullstelle ist ja nur vorhanden, wenn das Polynom nach vollständiger Faktorisierung zwei gleiche Faktoren vorkommen, z.B. (x-1)*(x-2)*(x-1) = (x-1)²*(x-2). x=1 ist dann eine doppelte Nullstelle!
Zu 2: Keinen blassen Schimmer!!!
Zu 3: Tayler-Entwicklung ist eigentlich nur richtiges Einsetzen in eine Formel. Ich würds einfach mal probieren.
Gruß,
Nöbi.
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Hallo Gero!
> Also 1. Aufgabe:
> "Zeigen Sie, dass das Polynom
> [mm]p(x)=x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}[/mm] für [mm]\overline{a}[/mm] = [mm](a_{2}, a_{1}, a_{0})=(-2,[/mm]
> -5, 6) eine einfache Nullstelle bei 1 besitzt. Zeigen Sie
> weiter, dass p eine eindeutig bestimmte Nullstelle
> [mm]\lambda(a_{2}, a_{1}, a_{0})[/mm] nahe bei 1 besitzt, falls
> [mm](a_{2}, a_{1}, a_{0})[/mm] in einer geeigneten Umgebung von
> [mm]\overline{a}[/mm] liegt. Beweisen Sie, dass [mm]\lambda[/mm] stetig
> diffbar ist und geben Se die Taylorentwicklung von
> [mm]\lambda(\overline{a}[/mm] + h) in Potenzen von h in erster
> Ordnung an."
> Also meine Fragen:
> 1.) Ich denke es reicht nicht, wenn ich durch
> Polynomdivision zeige, dass 1 eine einfache Nst. ist,
> oder?
Ich denke schon, dass das reicht. Wie könnte man denn so etwas sonst zeigen, und wieso sollte es nicht reichen? Wie schon gesagt wurde, Polynomdivison mit (x-1), der Restterm ist dann (x+2)(x-3), also gibt es drei einfache Nullstellen, demnach ist 1 auch nur eine einfache Nullstelle (dass 1 überhaupt eine Nullstelle ist, folgt natürlich daraus, dass die Polynomdivision "aufgeht" und sieht man natürlich auch durch einsetzen).
> 2.) Ich denke mal, der 2. Teil hat was mit dem Satz über
> implizite Funktionen zu tun, oder nicht? Hätte mir da
> jemand vielleicht einen Ansatz?
Sorry, da habe ich leider auch keine Ahnung von...
> 3.) Oje, Taylor! Der war schon in Ana 1 ein rotes Tuch für
> mich. Und jetzt im mehrdimensionalen ist das natürlich
> nicht einfacher. Kann mir da vielleicht jemand helfen?
Was ist denn da oben mit dem [mm] \lambda [/mm] gemeint? Und [mm] \lambda(\overline{a}+h)? [/mm] Wenn du mir das sagst, kann ich dir evtl. weiterhelfen. Ansonsten guck dir doch mal diese Diskussion hier an - vielleicht hilft sie dir. Das sieht zwar alles recht kompliziert aus mit den ganzen Multiindizes und so (fand ich jedenfalls am Anfang), aber ich habe es auch hinbekommen. Wenn man sich wirklich mal hinsetzt und die Lösungen dort nachvollzieht, dann kann man das auch schaffen.
Evtl. hilft dir auch diese Diskussion weiter.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Di 11.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Also 1. Aufgabe:
> "Zeigen Sie, dass das Polynom
> [mm]p(x)=x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}[/mm] für [mm]\overline{a}[/mm] = [mm](a_{2}, a_{1}, a_{0})=(-2,[/mm]
> -5, 6) eine einfache Nullstelle bei 1 besitzt.
Da wurde ja schon richtiges zu gesagt - alternativ die Ableitung nach x bestimmen und sehen, dass dies ungleich 0 ist.
Zeigen Sie
> weiter, dass p eine eindeutig bestimmte Nullstelle
> [mm]\lambda(a_{2}, a_{1}, a_{0})[/mm] nahe bei 1 besitzt, falls
> [mm](a_{2}, a_{1}, a_{0})[/mm] in einer geeigneten Umgebung von
> [mm]\overline{a}[/mm] liegt. Beweisen Sie, dass [mm]\lambda[/mm] stetig
> diffbar ist
Das würde ich imo mit dem Satz über implizite Funktionen machen. Dazu muss man sich eine geignete Funktion suchen - hab folgende unter der Dusche mir ausgedachtet: [m]\IR^4\to \IR, (x,a_1,a_2,a_3)\mapsto x^3+a_2*x^2+a_1*x+a_0[/m]. Und dann überprüfe man, dass das Differential bzgl. der ersten Komponente surjektiv ist. Dann folgen beide Aussagen.
EDIT: an der Stelle [m](-1,...)[/m] natürlich und genau bezüglich der Nullstellenmenge.
Wie kommt man auf so eine Funktion? also Satz über implizite Funktionen war ja naheliegend. Dann: man muss etwas finden, was eine Auflösung hat, so das etwas 3 dimensionales auf was eindimensionales abgebildet wird - und genau die Nullstelle in der Nähe ist.
Anderes Vorgehen (altenative): man schreibe sich die Cordanschen (sp?) Formeln hin, und überprüfe, ob diese für das Polynom in der Nähe stetig diff.bar ist - aber das ist imo eine sehr große Frickelei.
> und geben Se die Taylorentwicklung von
> [mm]\lambda(\overline{a}[/mm] + h) in Potenzen von h in erster
> Ordnung an."
Es gibt eine Formel für das Differential beim Satz über implizite Funktionen, und dann quasi nur die Formel hinschriben - ist ja blos bis zur ersten Ordnung, als bis zum Differential.
> 2.) Ich denke mal, der 2. Teil hat was mit dem Satz über
> implizite Funktionen zu tun, oder nicht? Hätte mir da
> jemand vielleicht einen Ansatz?
siehe oben. Richtig erkannt!
> 3.) Oje, Taylor! Der war schon in Ana 1 ein rotes Tuch für
> mich. Und jetzt im mehrdimensionalen ist das natürlich
> nicht einfacher. Kann mir da vielleicht jemand helfen?
Wo ist das Problem?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Mi 12.10.2005 | | Autor: | Nurlok |
Kann man die Funktionsgleichung [mm] y=x_{1}*x_{2} [/mm] ohne weiteres mit einer Taylorentwicklung in einem Punkt linearisieren?
Sei der Entwicklungspunkt [mm] x_{10}, x_{20} [/mm]
Mit der Taylorentwicklung nach Abbruch des ersten Gliedes erhalte ich:
[mm] \Delta [/mm] y = [mm] x_{20}*\Delta x_{1}+x_{10}*\Delta x_{2}
[/mm]
Ins Grübeln komme ich, wenn ich nun konkrete Zahlenwerte einsetze, z.B.:
Sei [mm] x_{10}=0, x_{20}=0 [/mm] und damit [mm] y_{0}=0 [/mm] und weiterhin sei
[mm] \Delta x_{1}=1, \Delta x_{2}=2
[/mm]
Dann erhalte ich: [mm] \Delta [/mm] y = 0
Ich kann also um den Entwicklungspunkt auslenken wie ich will, am Funktionswert ändert sich nichts. Das ist offensichtlich falsch.
Für andere Werte weicht die Taylorapproximation auch erheblich von dem tatsächlichen Funktionswert ab. Erst wenn die Koordinaten des Entwicklungspunktes große Werte im Verhältnis zu den Abweichungsvariablen annehmen, stimmen die Funktionswerte der Taylorreihe und der Funktion selbst annähernd überein. Dieser Zusammenhang wäre mir aber neu. Wo ist hier der Haken oder Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Mi 12.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Kann man die Funktionsgleichung [mm]y=x_{1}*x_{2}[/mm] ohne weiteres
> mit einer Taylorentwicklung in einem Punkt linearisieren?
Was meinst du? Das Taylorpolynom angeben?
> Sei der Entwicklungspunkt [mm]x_{10}, x_{20}[/mm]
> Mit der Taylorentwicklung nach Abbruch des ersten Gliedes
> erhalte ich:
>
> [mm]\Delta[/mm] y = [mm]x_{20}*\Delta x_{1}+x_{10}*\Delta x_{2}[/mm]
ich verstehe deine Notation nicht - was sollen die Deltas hier bedeuten? ist das Delta dine Bezeichnung für das Taylorpolynom bis zum ersten Grad?
> Dann erhalte ich: [mm]\Delta[/mm] y = 0
Wenn das das Taylorpolynom sein soll, scheint es zu stimmen.
> Ich kann also um den Entwicklungspunkt auslenken wie ich
> will, am Funktionswert ändert sich nichts. Das ist
> offensichtlich falsch.
Nein, ist es nicht. Dann wird es in erster ordnung am Punkt [m](0,0)[/m] eben durch die Konstante Funktion linear approximiert. Ist das schlimm? Wenn du das mal weitermachst, bis zur 2. Ordnung (Hesse-Matrix) wirst du was überraschendes feststellen ...
> Für andere Werte weicht die Taylorapproximation auch
> erheblich von dem tatsächlichen Funktionswert ab.
was meinst du mit erheblich? Wenn bedie Koordinaten nahe 0 sind, ist das Prodkut (rein intuitiv) noch weiter an 0, als beide Koordinaten, 0,01*0,1=0,001.
> Erst wenn
> die Koordinaten des Entwicklungspunktes große Werte im
> Verhältnis zu den Abweichungsvariablen annehmen, stimmen
> die Funktionswerte der Taylorreihe und der Funktion selbst
> annähernd überein.
Was meinst du damit? annähernd? Wenn dir die Approximationsgüte nicht reicht, musst du den Grad des Taylor-Polynoms erhöhen.
> Dieser Zusammenhang wäre mir aber neu.
Häh?
> Wo ist hier der Haken oder Fehler?
Vielleicht deine Vorstellung von Approximation?!? Im Nullpunkt seiht es doch gut aus, für hinreichend kleine Umgebungen.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 Mi 12.10.2005 | | Autor: | Nurlok |
> > Kann man die Funktionsgleichung [mm]y=x_{1}*x_{2}[/mm] ohne weiteres
> > mit einer Taylorentwicklung in einem Punkt linearisieren?
>
> Was meinst du? Das Taylorpolynom angeben?
>
Ja, ich meine das Taylorpolynom mit Abbruch nach dem linearen Glied.
> > Sei der Entwicklungspunkt [mm]x_{10}, x_{20}[/mm]
> > Mit der Taylorentwicklung nach Abbruch des ersten Gliedes
> > erhalte ich:
> >
> > [mm]\Delta[/mm] y = [mm]x_{20}*\Delta x_{1}+x_{10}*\Delta x_{2}[/mm]
>
> ich verstehe deine Notation nicht - was sollen die Deltas
> hier bedeuten? ist das Delta dine Bezeichnung für das
> Taylorpolynom bis zum ersten Grad?
>
Das Delta ist die Abweichung vom Entwicklungspunkt, also
[mm] \Delta [/mm] y = [mm] y-y_{0}. [/mm] Analog natürlich für [mm] \Delta [/mm] x
> > Dann erhalte ich: [mm]\Delta[/mm] y = 0
>
> Wenn das das Taylorpolynom sein soll, scheint es zu
> stimmen.
>
> > Ich kann also um den Entwicklungspunkt auslenken wie ich
> > will, am Funktionswert ändert sich nichts. Das ist
> > offensichtlich falsch.
>
> Nein, ist es nicht. Dann wird es in erster ordnung am Punkt
> [m](0,0)[/m] eben durch die Konstante Funktion linear
> approximiert. Ist das schlimm? Wenn du das mal
> weitermachst, bis zur 2. Ordnung (Hesse-Matrix) wirst du
> was überraschendes feststellen ...
>
> > Für andere Werte weicht die Taylorapproximation auch
> > erheblich von dem tatsächlichen Funktionswert ab.
>
> was meinst du mit erheblich? Wenn bedie Koordinaten nahe 0
> sind, ist das Prodkut (rein intuitiv) noch weiter an 0, als
> beide Koordinaten, 0,01*0,1=0,001.
>
Ich meinte auch für einen anderen Entwicklungspunkt. Z.B.: [mm] x_{10}=1 [/mm] und
[mm] x_{20}=1, [/mm] also [mm] y_{0}=1. [/mm] Die Abweichungen seien: [mm] \Delta x_{1}=2 [/mm] und [mm] \Delta x_{2}=3. [/mm]
Dann erhalte ich mit Taylorapproximation [mm] \Delta [/mm] y=5 und damit
[mm] y=y_{0}+\Delta [/mm] y = 6.
Setze ich aber die [mm] x_{1}=x_{10}+\Delta [/mm] x =3 und entsprechend [mm] x_{2}=4 [/mm] in die ursprüngliche Funktionsgleichung ein, erhalte ich y=12. Fehler:100%.
> > Erst wenn
> > die Koordinaten des Entwicklungspunktes große Werte im
> > Verhältnis zu den Abweichungsvariablen annehmen, stimmen
> > die Funktionswerte der Taylorreihe und der Funktion selbst
> > annähernd überein.
>
> Was meinst du damit? annähernd? Wenn dir die
> Approximationsgüte nicht reicht, musst du den Grad des
> Taylor-Polynoms erhöhen.
>
Ich meine Fehler im Bereich einiger Prozent. Für die regelungstechnische Anwendung, in der ich die Approximation brauche, muss ich möglichst mit dem ersten Grad auskommen.
> > Dieser Zusammenhang wäre mir aber neu.
>
> Häh?
>
> > Wo ist hier der Haken oder Fehler?
>
> Vielleicht deine Vorstellung von Approximation?!? Im
> Nullpunkt seiht es doch gut aus, für hinreichend kleine
> Umgebungen.
>
> SEcki
Ja, sieht so aus, als sei mein Problem quantitativer Natur. Die Umgebung muss halt klein genug sein. Mir war wichtig zu wissen, ob meine Taylorentwicklung richtig ist. Wenn ja, ergibt sich für mich ein neues Problem, das aber nicht mathematischer Natur ist.
Vielen Dank für deine Hilfe!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Mi 12.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Das Delta ist die Abweichung vom Entwicklungspunkt, also
> [mm]\Delta[/mm] y = [mm]y-y_{0}.[/mm] Analog natürlich für [mm]\Delta[/mm] x
Dann taucht das Taylorpolynom ja erstmal nicht auf.
> Ich meinte auch für einen anderen Entwicklungspunkt. Z.B.:
> [mm]x_{10}=1[/mm] und
> [mm]x_{20}=1,[/mm] also [mm]y_{0}=1.[/mm] Die Abweichungen seien: [mm]\Delta x_{1}=2[/mm]
> und [mm]\Delta x_{2}=3.[/mm]
Okay, der Fehler (also zwischen Funktion und Taylorpolynom) ist nach meiner Rechnung [m]\Delta x_{1}*\Delta x_{2}[/m], also hier der absolute Fehler.
> Dann erhalte ich mit Taylorapproximation [mm]\Delta[/mm] y=5 und
> damit
Was soll das Delta hier? Der Fehler bei der Approximation?!? Führ das bitte schrittweise aus - was für ein Delta willst du hierbenutzen?
> [mm]y=y_{0}+\Delta[/mm] y = 6.
> Setze ich aber die [mm]x_{1}=x_{10}+\Delta[/mm] x =3 und
> entsprechend [mm]x_{2}=4[/mm] in die ursprüngliche
> Funktionsgleichung ein, erhalte ich y=12. Fehler:100%.
Das Ergebnis stimmt. Du bist aber auch relativ zum Nullpunkt sehr weit weggegangen ...
> Ich meine Fehler im Bereich einiger Prozent. Für die
> regelungstechnische Anwendung, in der ich die Approximation
> brauche, muss ich möglichst mit dem ersten Grad auskommen.
Aha! Du wirst also um eine numerische Betrachtung nicht herumkommen - man muss also den Fehler abschätzen. Ist hier nicht besonders toll, geb ich zu - aber es gibt Punkte bei jeder Grundrechenart, die etwas kritisch sind - bei der Addition die 0, zB wegen der Auslöschung.
> Ja, sieht so aus, als sei mein Problem quantitativer Natur.
Hol dir ein Buch über Numerik bzw. schau in der Linksammlung hier nach einem Numerik-Skript - wichtig ist ja: das das Taylorpolynom gut approximiert hängt ja vom Restglied ab, das man abschätzen muss, und wie sich das verhält. Was man in de Praxis verwendet, hängt ja auch von den Gegebenheit ab. Falls du dann nicht weietr kommst - hier gibt's ja auch ein Numerik-Forum! 
> Die Umgebung muss halt klein genug sein. Mir war wichtig zu
> wissen, ob meine Taylorentwicklung richtig ist. Wenn ja,
> ergibt sich für mich ein neues Problem, das aber nicht
> mathematischer Natur ist.
Halb, halb. Es ist nicht mehr analysis - es ist jetzt praktische Mathematik: Numerik.
SEcki
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