Polynom mit Mischtermen lösen < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien zwei Polynome [mm] f(x_{1},...,x_{n}) [/mm] und [mm] g(x_{1},...,x_{n}) [/mm] dritten Grades, die Mischterme [mm] x_{i}x_{j}x_{k} [/mm] bis zum Grad i+j+k=3 enthalten:
[mm] f(x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{1}) [/mm] = [mm] \summe_{i+j+k\le3}^{}c_{n}x_{i}x_{j}x_{k}
[/mm]
und
[mm] g(x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{1}) [/mm] = [mm] \summe_{i+j+k\le3}^{}c'_{n}x_{i}x_{j}x_{k}
[/mm]
Gesucht ist das Minimum von f unter der Nebenbedingung g - const = 0. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Koeffizienten habe ich folgendermaßen durchnummeriert:
[mm] f(x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{1}) [/mm] =
[mm] \alpha_{1}x_{1} [/mm] + ... + [mm] \alpha_{n}x_{n} [/mm] +
[mm] \beta_{1}x_{1}^{2} [/mm] + ... + [mm] \beta_{n}x_{n}^{2} [/mm] +
[mm] \gamma_{1}x_{1}x_{2} [/mm] + ... + [mm] \gamma_{n-1}x_{1}x_{n} [/mm] +
[mm] \gamma_{n}x_{2}x_{3} [/mm] + ... + [mm] \gamma_{2n-2}x_{2}x_{n} [/mm] +
... + [mm] \gamma_{i}x_{n-1}x_{n} [/mm] +
[mm] \delta_{1}x_{1}^{3} [/mm] + ... + [mm] \delta_{n}x_{n}^{3} [/mm] +
[mm] \epsilon_{1}x_{1}^{2}x_{2} [/mm] + ... + [mm] \epsilon_{n-1}x_{1}^{2}x_{n} [/mm] +
[mm] \epsilon_{n}x_{2}^{2}x_{3} [/mm] + ... + [mm] \epsilon_{2n-2}x_{2}^{2}x_{n} [/mm] +
... + [mm] \epsilon_{i}x_{n-1}^{2}x_{n} [/mm] +
[mm] \lambda_{1}x_{1}x_{2}x_{3} [/mm] + [mm] \lambda_{2}x_{1}x_{2}x_{4} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{j}x_{n-2}x_{n-1}x_{n}
[/mm]
Ich möchte das Problem mit Lagrange-Multiplikatoren angehen. Die Ableitungen und Ableitungskoeffizienten von [mm] \partial_{x_{i}}(f [/mm] + [mm] \lambda [/mm] g) = 0 habe ich bereits bestimmt.
Wenn ich nun die Ableitungen bilde, erhalte ich entsprechend Terme zweiten Grades und Mischterme [mm] x_{i}x_{j}.
[/mm]
Das Gleichungssystem hat also bei n+1 Zeilen (Ableitungen + Nebenbedingung) mehr als n+1 Spalten.
Habt ihr Vorschläge, wie ich das Gleichungssystem allgemein (also für variables n) aufstellen muss, so dass ich es z.B. per QR-Zerlegung lösen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 07.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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