Polynom in C->C Nullstellen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 So 25.11.2007 | | Autor: | IHomerI |
| Aufgabe | Gegeben sei das Polynom P: [mm] \IC \to \IC [/mm] definiert durch
P(z) := [mm] 2z^5-z^4+10z^3-5z^2+8z-4
[/mm]
a) Berechnen Sie P(0) und P(1)
b) Beweisen Sie, dass P mindesten eine reelle Nullstelle hat.
c) Berechnen Sie P(i), P(2i) und finden Sie alle Nullstellen von P. |
Und zwar ist meine Frage folgende, könnte ich Aufgabe b beantworten, indem ich sage: Ein ungerades Polynom hat immer eine relle Nullstelle, da falls eine koplexe zahl eine NST ist auch ihre komplex konjugierte form eine NST ist und somit ja immer gerade exponenten entstehen. Deshalb müsste ja [mm] Z^5 [/mm] mind. eine reelle NST haben oder ?
Und zu C) ist meine Frage: Ich soll ja alle NSTs bestimmen also sozusagen z1,z2,z3,z4,z5 so bei i weis ich, dass das eine NST ist und somit auch -i ne? wenn ich jetzt den rest der NSTs haben will kann ich ja polynomdivi machen und danach pq formel, dann hab ich ja schon 2 weitere evtl. aber wie bekomm ich denn die eine reelle vorneweg?
Wär nett wenn ihr mir helfen könntet.
lg Homer
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sei das Polynom P: [mm]\IC \to \IC[/mm] definiert durch
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> P(z) := [mm]2z^5-z^4+10z^3-5z^2+8z-4[/mm]
> a) Berechnen Sie P(0) und P(1)
> b) Beweisen Sie, dass P mindesten eine reelle Nullstelle
> hat.
> c) Berechnen Sie P(i), P(2i) und finden Sie alle
> Nullstellen von P.
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> Und zwar ist meine Frage folgende, könnte ich Aufgabe b
> beantworten, indem ich sage: Ein ungerades Polynom hat
> immer eine relle Nullstelle,
Richtig: und zwar wegen des Zwischenwertsatzes. Der folgende Zusatz ist daher überhaupt nicht nötig:
> da falls eine komplexe zahl
> eine NST ist auch ihre komplex konjugierte form eine NST
> ist und somit ja immer gerade exponenten entstehen. Deshalb
> müsste ja [mm]Z^5[/mm] mind. eine reelle NST haben oder ?
>
> Und zu C) ist meine Frage: Ich soll ja alle NSTs bestimmen
> also sozusagen z1,z2,z3,z4,z5 so bei i weis ich, dass das
> eine NST ist und somit auch -i ne? wenn ich jetzt den rest
> der NSTs haben will kann ich ja polynomdivi machen und
> danach pq formel, dann hab ich ja schon 2 weitere evtl.
> aber wie bekomm ich denn die eine reelle vorneweg?
Wenn Du zuerst einmal, wie von der Aufgabenstellung nicht ohne Grund ausdrücklich verlangt, die Werte des Polynoms an den Stellen [mm] $\mathrm{i}$ [/mm] und [mm] $2\mathrm{i}$ [/mm] berechnet hast, dann hast Du, weil die Koeffizienten reell und daher zu jeder komplexen Nullstelle auch deren Konjugierte eine Nullstelle ist, bereits vier von insgesamt fünf Nullstellen dieses Polynoms gefunden. Um rationale reelle Nullstelle zu finden (und wir wissen, aufgrund unserer Kenntnis der restlichen 4 Nullstellen, dass die reelle Nullstelle rational sein muss) könntest Du zwar im Prinzip die $z$ von der Form [mm] $z=\frac{p}{q}$ [/mm] durchprobieren (wobei $p$ ein ganzzahliger Teiler von $-4$ und $q$ ein natürlicher Teiler von $2$). Du kannst aber auch mittels Polynomdivision diejenigen Faktorpolynome, die Du bereits kennst, abspalten: es wird ein lineares Polynom übrig bleiben, dessen reelle Nullstelle problemlos abzulesen sein wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 So 25.11.2007 | | Autor: | IHomerI |
Dankeee komisch hatte das mit 2i 2x gerechnet und es kamimmer was anderes raus als 0....lol jetzt hab ich nochmal gemacht und es ist 0 supiiii dann ist mir der rest auch klar.
thx nochmal und nen schönen Abend
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