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Hallo,
ich soll eine Polynominterpolation machen.
Und zwar geht es darum, dass ich für jedes n [mm] \ge [/mm] 2 ein Polynom [mm] \in \IR[x] [/mm] vom Grad n angeben soll, das folgendes erfüllt:
[mm] p_n(-2) [/mm] = -2
[mm] p_n(-1) [/mm] = 1
[mm] p_n(1) [/mm] = 3
Ich habe mit Hilfe dieser Punkte schon die Newton-Interpolation gemacht und somit p(x) rausgefunden. Ich bin mir nicht sicher, aber kann ich davon ausgehen, dass wenn ich diese Punkte in q(x) ( gesuchtes Polynom) einsetze , Nullstellen dieses Polynoms bekomme ?
ALso die Form soll so sein:
p(x) + q(x)
Wobei q(x) ein beliebiges Polynom ist ( beliebiger Grad) .
q(x) ist in dem Fall das gesuchte Polynom.
Also muss doch q(x) das Polynom sein, was an den 3 Stellen 0 ist , oder ?
Bitte um Hilfe.
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Di 06.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Doc! 
> ich soll eine Polynominterpolation machen.
Mit Newton-Interpolation meinst du hier wohl die lineare
Interpolation.
> Und zwar geht es darum, dass ich für jedes n [mm]\ge[/mm] 2 ein
> Polynom [mm]\in \IR[x][/mm] vom Grad n angeben soll, das folgendes
> erfüllt:
> [mm]p_n(-2)[/mm] = -2
> [mm]p_n(-1)[/mm] = 1
> [mm]p_n(1)[/mm] = 3
>
> Ich habe mit Hilfe dieser Punkte schon die
> Newton-Interpolation gemacht und somit p(x) rausgefunden.
Wieso zeigst du uns nicht deine Rechnung?
> Ich bin mir nicht sicher, aber kann ich davon ausgehen,
> dass wenn ich diese Punkte in q(x) ( gesuchtes Polynom)
> einsetze , Nullstellen dieses Polynoms bekomme ?
Was denn für Nullstellen? Es ist das eindeutige Polynom [mm] p\in\Pi_n
[/mm]
zu bestimmen, wobei [mm] n\in\IN\setminus\{1\} [/mm] gilt, sodass die Interpolations-
bedingungen
[mm] $p_n(-2)=-2$,
[/mm]
[mm] $p_n(-1)=1$,
[/mm]
[mm] $p_n(1)=3$
[/mm]
gelten. Unabhängig deiner Aufgabe können wir wegen der Ste-
tigkeit vom gesuchten Polynom [mm] $p\$ [/mm] wegen
[mm] p_n(-2)=-2<0
[/mm]
und
[mm] p_n(-1)=1>0
[/mm]
durch den Mittelwertsatz darauf schließen, dass [mm] $p\$ [/mm] in $(-2,-1)$
mindestens eine Nullstelle besitzt. Das spielt aber hier
keine große Rolle. Es geht um die drei angegebenen Inter-
polationsbedingungen, die erfüllt sein sollen.
> ALso die Form soll so sein:
> p(x) + q(x)
> Wobei q(x) ein beliebiges Polynom ist ( beliebiger Grad)
Meinst du hier [mm] $p\$?
[/mm]
> q(x) ist in dem Fall das gesuchte Polynom.
Gib mal bitte die komplette Aufgabenstellung an.
> Also muss doch q(x) das Polynom sein, was an den 3 Stellen
> 0 ist , oder ?
Nein. Interpolationsbedingung:
[mm] p(x_i)=f_i [/mm] für alle [mm] i\in\{0,1,2\},
[/mm]
wobei
[mm] $x_0:=-2$,
[/mm]
[mm] $x_1:=-1$,
[/mm]
[mm] $x_2:=3$
[/mm]
und
[mm] $f_0:=-2$,
[/mm]
[mm] $f_1:=1$,
[/mm]
[mm] $f_2:=3$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Di 06.05.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo DieAcht,
danke für deine Antwort.
Ich gucke mir die Definition eines Polynoms noch mal im Skript an und melde mich dann anschließend hier.
Danke schon mal
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Di 06.05.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> ich soll eine Polynominterpolation machen.
> Und zwar geht es darum, dass ich für jedes n [mm]\ge[/mm] 2 ein
> Polynom [mm]\in \IR[x][/mm] vom Grad n angeben soll, das folgendes
> erfüllt:
>
> [mm]p_n(-2)[/mm] = -2
> [mm]p_n(-1)[/mm] = 1
> [mm]p_n(1)[/mm] = 3
Hallo,
die drei Punkte (-2|-2), (-1|1) und (1|3) bestimmen eindeutig ein Polynom zweiten Grades.
Wenn du zu diesem Polynom ein Polynom n-ten Grades addierst, welchen an den drei Stellen -2, -1 und 1 jeweils eine Nullstelle besitzt,
Dann verläuft auch das entstehende "Summenpolynom" durch die drei angegebenen Punkte.
Gruß Abakus
>
> Ich habe mit Hilfe dieser Punkte schon die
> Newton-Interpolation gemacht und somit p(x) rausgefunden.
> Ich bin mir nicht sicher, aber kann ich davon ausgehen,
> dass wenn ich diese Punkte in q(x) ( gesuchtes Polynom)
> einsetze , Nullstellen dieses Polynoms bekomme ?
>
> ALso die Form soll so sein:
> p(x) + q(x)
> Wobei q(x) ein beliebiges Polynom ist ( beliebiger Grad)
> .
> q(x) ist in dem Fall das gesuchte Polynom.
>
> Also muss doch q(x) das Polynom sein, was an den 3 Stellen
> 0 ist , oder ?
>
> Bitte um Hilfe.
>
> Vielen Dank im Voraus.
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Hallo nochmal und danke für die Antworten.
Also ich habe ja die Interpolation über diese 3 Punkte gemacht und habe das hier rausbekommen:
-2 -2
-1 1
1 3
Das ist meine Tabelle und nun rechne ich:
[mm] \bruch{1--2}{-1--2} [/mm] und [mm] \bruch{3-1}{1--1} [/mm] usw bis ich am Ende [mm] -\bruch{2}{3} [/mm] rausbekommen habe. Man nennt das ganze "die dividierten Differenzen"
Und dann habe ich am Ende:
-2+3(x+2)+3(x+2)(x+1) - [mm] \bruch{2}{3}(x+2)(x+1)(x-1)
[/mm]
= [mm] -2+3x+6+3x^{2}+9x+6-\bruch{2}{3}(x^{3}+2x^{2}-x-2)
[/mm]
= [mm] 10+12x+3x^{2}-\bruch{2}{3}(x^{3}+2x^{2}-x-2)
[/mm]
So das ist dieses Polynom p(x)
Jetzt muss ich ja ein Polynom q(x) finden , das an den Stellen -2 , -1 und 1 Null ist , also Nullstelle.
Also:
Sei [mm] 10+12x+3x^{2}-\bruch{2}{3}(x^{3}+2x^{2}-x-2) [/mm] = p(x)
q(x) = (x+2)(x+1)(x-1)
Damit wäre ich fertig , oder ?
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Hallo pc_doctor,
> Hallo nochmal und danke für die Antworten.
>
> Also ich habe ja die Interpolation über diese 3 Punkte
> gemacht und habe das hier rausbekommen:
>
> -2 -2
>
> -1 1
>
> 1 3
>
> Das ist meine Tabelle und nun rechne ich:
>
> [mm]\bruch{1--2}{-1--2}[/mm] und [mm]\bruch{3-1}{1--1}[/mm] usw bis ich am
> Ende [mm]-\bruch{2}{3}[/mm] rausbekommen habe. Man nennt das ganze
> "die dividierten Differenzen"
>
> Und dann habe ich am Ende:
>
> -2+3(x+2)+3(x+2)(x+1) - [mm]\bruch{2}{3}(x+2)(x+1)(x-1)[/mm]
>
Das interpolierende Polynom 2.Grades ergibt sich doch wie folgt:
[mm]p\left(x\right)=\left(-2\right)+3*\left(x+2\right)+\left(-\bruch{2}{3}\right)*\left(x+2\right)*\left(x+1\right)[/mm]
> = [mm]-2+3x+6+3x^{2}+9x+6-\bruch{2}{3}(x^{3}+2x^{2}-x-2)[/mm]
>
> = [mm]10+12x+3x^{2}-\bruch{2}{3}(x^{3}+2x^{2}-x-2)[/mm]
>
> So das ist dieses Polynom p(x)
> Jetzt muss ich ja ein Polynom q(x) finden , das an den
> Stellen -2 , -1 und 1 Null ist , also Nullstelle.
>
> Also:
> Sei [mm]10+12x+3x^{2}-\bruch{2}{3}(x^{3}+2x^{2}-x-2)[/mm] = p(x)
>
> q(x) = (x+2)(x+1)(x-1)
>
Es ist richtig, daß q(x) ein solches Polynom ist,
das die Nullstellen x=-2, x=-1 und x=1 besitzt. Es
gibt aber noch viele weiter Polynome, die diese
Nullstellen besitzen.
> Damit wäre ich fertig , oder ?
Gruss
MathePower
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Hallo,
wie finde ich dann die weiteren Polynome ? Also was muss ich da konkret machen, damit ich alle finde ? Probieren geht da ja schlecht , oder ? Gibt es da ein bestimmtes Verfahren ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:25 Do 08.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> wie finde ich dann die weiteren Polynome ? Also was muss
> ich da konkret machen, damit ich alle finde ? Probieren
> geht da ja schlecht , oder ? Gibt es da ein bestimmtes
> Verfahren ?
Sei P ein Polynom. P hat die Nullstellen -2,-1 und 1 [mm] \gdw [/mm]
es ex. ein Polynom Q mit
$P(x)=Q(x) (x+2)(x+1)(x-1) $
FRED
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Hallo,
ich verstehe das leider nicht. Soll das jetzt das gesuchte Polynom sein ?
Ich hatte ja die Interpolation gemacht und ein Polynom 2. Grades rausbekommen und jetzt muss ich ein Polynom q(x) finden, das an den genannten Stellen eine Nullstelle hat.
Nur woher weiß ich , wie viele ich davon finden soll ? Hatte ja gefunden (x-2)(x-1)(x+1)
Und jetzt war das Problem, dass es noch mehr solcher Polynome gibt , nur woher weiß ich , wieviele und woher weiß ich , wann "genug" ist ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Do 08.05.2014 | | Autor: | leduart |
hallo
warum du mit den 3 Stellen ein Polynom dritten Grades raus hast verstehe ich nicht.
wenn du zu ddeinem gefundenen Polynom dein Polynom (x+2)*(x+1)*x-2) addierst hast du insgesamt ein Polynom dritten Grades.
du sollst aber eines zu jedem Grad [mm] n\ge [/mm] 2 angeben.
d.h. dass du mit n>2 also 3 anfängst ist schon mal nicht richtig , für n>3 hat
dir fred den Hinweis gegeben.
Du musst, wenn du eine Aufgabe anscheinend gelöst hast dir den Text noch mal genau durchlesen, ob du ALLE Forderungen erfüllt hast.
warum liest du posts nicht genau, schon anfangs wurde dir gesagt, dass du für die 3 punkte nur ein P. 2 ten Grades brauchst.
und nicht nur die posts, sondern auch die Aufgaben liest du nicht sorfältig!
Gruß leduart
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Hallo nochmal,
also das Ergebnis nach der Newton-Interpolation ist folgendes:
$ [mm] p\left(x\right)=\left(-2\right)+3\cdot{}\left(x+2\right)+\left(-\bruch{2}{3}\right)\cdot{}\left(x+2\right)\cdot{}\left(x+1\right) [/mm] $
Das ist mein Polynom zweiten Grades. Und jetzt muss ich ja für n [mm] \ge [/mm] 2 weitere Polynome finden, die die Eigenschaften [mm] p_n(-2) [/mm] , [mm] p_n(-1)=1 [/mm] und [mm] p_n(1)=3 [/mm] erfüllen.
So und mein Problem ist , ich weiß nicht , wie ich diese weiteren Polynome finden soll. Der Tipp mit n=3 von FRED , dafür bedanke ich mich ja , aber ich will den Weg verstehen, und den habe ich leider noch nicht so drauf. Das ist mein Problem.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Do 08.05.2014 | | Autor: | Melmel |
Die zweite Antwort vom Fred scheint schon Sinn zu machen - das einfach zu übernehmen ohne zu wissen was dahinter steckt ist leider nicht möglich.
hier das durch newtonsche interpolation entstandene polynom 2. Grade(ausmultipliziert):
-2/3x²+x+8/3
Mein Ansatz besteht/bestand auch darin mit diesem 2. gradigen polynom irgendetwas anzufangen, aber ich hab keine vorstellung was das sein könnte, bis auf, dass wenn man jeweils den X-wert der punkte einsetzt, man die Y-werte herausbekommen soll. Im Grunde bin ich mit meinem Verständnis genauso weit wie PC doctor. Und ehrlichgesagt kein wenig vorrangekommen trotz der vielen antworten.
Habe mich grade wutentbrannt hier angemeldet wegen dieser typisch idiotischen antwort von leduart. Denn:
Wenn man etwas verstanden hat kann man 2 dinge tun:
1. sein ego damit pushen und in anderen, die es nicht verstehen, irrationale schlampigkeiten hineinprojezieren und respektlos werden
2. sich der schritte die zum verständnis geführt haben bewusst sein, nachvollziehen an welcher stelle das gegenüber ist, und mit erklärungen richtig ansetzen
Zweiteres setzt wohl nächstenliebe und etwas eigenleistung voraus
Leider gibt es zuviele menschen, die sich mathematiker schimpfen und zur ersteren gruppe gehören.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Do 08.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
Betrachte das Polynom [mm] q(x)=p_n(x)-p(x) [/mm] (dabei ist p das von dir angegebene).
offenbar hat q Nullstellen bei -2, -1 und 1, also spaltet q diese Linearfaktoren ab und lässt sich schreiben als $ q(x)=(x+2)(x+1)(x-1)*r(x) $
Umgekehrt leistet jedes Polynom r das Gewünschte, wenn du [mm] p_n(x)=p(x)+(x+2)(x+1)(x-1)*r(x) [/mm] setzt. Dabei ist [mm] Grad(p_n)=\begin{cases} 2, & \mbox{für } r=0 \\ 3+Grad(r), & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:10 Do 08.05.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar , vielen Dank Sax und auch an alle anderen, das scheint mir einzuleuchten.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Do 08.05.2014 | | Autor: | Melmel |
Wieso hat q offenbar nullstellen bei den punkten?
Heisst das, dass wenn man von einem Polynom a ein anderes Polynom b subtrahiert, dass an allen punkten p(x/y) von polynom b eine nullstelle für Polynom a entsteht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 Do 08.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
es heißt Folgendes :
Wenn [mm] a(x_0)=y_0 [/mm] und [mm] b(x_0)=y_0 [/mm] ist, dann ist [mm] (a-b)(x_0)=a(x_0)-b(x_0)=0.
[/mm]
Gruß Sax.
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