Polynom durch 3 punkte < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Darker |
hi,
hatte hier im forum schon mal eine grade durch zwei punkten besprochen
nun sollen:
Es sein drei Punkte in der Ebene gegeben:
[mm] (-1,\alpha),(0,\beta),(1,\gamma) \in \IR^{2}
[/mm]
Wie lautet das Polynom zweiten Grades [mm] P(x)=a+bx+cx^{2} [/mm] , welches durch die drei Punkte geht? (Es sind also a,b und c zu bestimmen)
bei zwei punkten hatten wir bestimmt, dass
[mm] b=\bruch{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} [/mm]
und
[mm] a=y_{1}-(\bruch{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} *x_{1})
[/mm]
ist
kann ich das hier weiter benutzen ? und wenn ja wie gehen ich weiter vor?
Dank im vorraus
cu
Darker
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Hallo!
> bei zwei punkten hatten wir bestimmt, dass
> [mm]b=\bruch{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}[/mm]
> und
> [mm]a=y_{1}-(\bruch{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} *x_{1})
[/mm]
>
> ist
>
> kann ich das hier weiter benutzen ? und wenn ja wie gehen
> ich weiter vor?
Also, ich weiß ja nicht, was du hier schon besprochen hast, aber ich würde es folgendermaßen machen:
du hast doch 3 Punkte gegeben, also gilt:
[mm] P(-1)=a-b+c=\alpha
[/mm]
[mm] P(0)=a=\beta
[/mm]
[mm] P(1)=a+b+c=\gamma
[/mm]
Jetzt hast du drei Gleichungen und drei Unbekannte, das müsstest du lösen können (die [mm] \alpha, \beta, [/mm] und [mm] \gamma [/mm] müssten ja wohl gegeben sein.
Hilft dir das weiter?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 So 14.11.2004 | | Autor: | Darker |
hi, danke für den tip
leider sind [mm] (\alpha \beta \gamma) [/mm] nicht gegeben... aber das macht ja nix
ich hab mal versucht durch auflösen und einsetzten das gleichungssystem zu lösen und hab bin dann auf folgeden lösung gekommen
[mm] c=\bruch{\alpha-2\beta+\gamma}{2}
[/mm]
[mm] b=\bruch{\gamma-2\beta-\alpha}{2}
[/mm]
[mm] a=-2\beta
[/mm]
also ergibt das folgende gleichung
[mm] p(x)=-2\beta+\bruch{\gamma-2\beta-\alpha}{2}x+\bruch{\alpha-2\beta+\gamma}{2}x^{2}
[/mm]
kann man vieleicht noch vereinfachen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Do 18.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Darker,
> hi, danke für den tip
> leider sind [mm](\alpha \beta \gamma)[/mm] nicht gegeben... aber
> das macht ja nix
> ich hab mal versucht durch auflösen und einsetzten das
> gleichungssystem zu lösen und hab bin dann auf folgeden
> lösung gekommen
> [mm]c=\bruch{\alpha-2\beta+\gamma}{2}
[/mm]
> [mm]b=\bruch{\gamma-2\beta-\alpha}{2}
[/mm]
> [mm]a=-2\beta
[/mm]
Hier habe ich andere Darstellungen herausbekommen. Zum Beispiel folgt doch aus [mm] $(0,\beta)$, [/mm] dass [mm] $a=\beta$ [/mm] (und deine Gleichung falsch sein muß).
Zeige uns doch mal deine Rechnung, um den Fehler zu lokalisieren.
Ich erhalte als Gleichungssystem:
[mm] $c-b+a=\alpha$
[/mm]
[mm] $a=\beta$
[/mm]
[mm] $c+b+a=\gamma$
[/mm]
und als Lösung
[mm] $a=\beta$
[/mm]
[mm] $c=\bruch{\alpha+\gamma-2\beta}{2}$
[/mm]
[mm] $b=\bruch{\gamma-\alpha}{2}$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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