Polynom = Produkt Minimalpol. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:17 Do 17.03.2016 | | Autor: | Herbart |
Hallo,
ich habe eine Vermutung bezüglich Minimalpolynome, da ich mich momentan mit Algebra beschäftige und ein bisschen mit Sätzen herumspiele:
Sei $ K/k $ eine algebraische Körpererweiterung. Dann lässt sich jedes $f [mm] \in [/mm] k [x] $ nicht konstant als Produkt der Minimalpolynome seiner Nullstellen über $ Z $ schreiben, wobei $ Z $ Zerfällungskörper von $ f $ über $ k $ sei.
Beweis:
$ f $ zerfällt über $ Z $, d.h. es ex. $ [mm] b,a_1, a_2,..., a_n\in [/mm] Z$, s.d. [mm] f=b(x-a_1)\cdots (x-a_n) [/mm] über $ Z $. [mm] $a_1, a_2,..., a_n\in [/mm] Z$ sind also Nullstellen von $ f $, mithin algebraisch. Es existieren also Minimalpolynome $ [mm] f_{a_1},..., f_{a_n} [/mm] $ von $ [mm] a_1,..., a_n [/mm] $ über $ k $.
Wegen [mm] f(a_1)=0, [/mm] folgt $ [mm] f_{a_1}|f$, [/mm] d.h. es gibt ein $ [mm] f_1\in [/mm] k $, s.d. $ [mm] f=f_1\cdot f_{a_1} [/mm] $. Wende das gleiche Argument auf $ [mm] f_1$ [/mm] an und folgere induktiv:
$$ [mm] f=f_{a_1}\cdots f_{a_n} [/mm] $$
Ist meine Argumentation im Beweis richtig? Dann wäre auch meine Vermutung korrekt. Ein Problem sehe ich bei mehrfachen Nullstellen. Ich würde also $ K/k $ separabel als stärkere Voraussetzung fordern.
Viele Grüße
Herbart
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1. $K$ taucht in deiner Vermutung überhaupt nicht auf. Es kommen nur $k$ und $Z$ vor.
2. Du weißt doch sicherlich, dass $k[x]$ faktoriell ist. Deine Vermutung sagt genau das. $f$ ist Produkt seiner Primfaktoren, welche in $Z$ zerfallen und Minimalpolynome ihrer Nullstellen dort sind.
Nur dass du am Ende $f$ (vom Grad $n$) als Produkt von $n$ Minimalpolynomen hast, kann so nicht ganz stimmen. Nimm beispielsweise an, dass $f$ selbst irreduzibel ist. Dann ist es ja bereits das Minimalpolynom sämtlicher Nullstellen in $Z$.
Zusatz: Falls du $f$ als separabel annimmst, lässt sich genauer sagen, welche Nullstellen sich jeweils ein Minimalpolynom in der Primfaktorzerlegung von $Z$ teilen. Die Primfaktorzerlegung von $f$ entspricht dann nämlich genau der Bahnenzerlegung der Menge der Nullstellen unter der Wirkung der Galoisgruppe von $Z/k$.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:30 Fr 18.03.2016 | | Autor: | Herbart |
Vielen Dank für deine Antwort!
VG
Herbart
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