Polynom 4. Gerades bestimmen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Von einem Polynom 4. Gerades p sind die folgenden Informationen bekannt:
a) p ist eine gerade Funktion über [mm] \IR
[/mm]
b) p bestitzt reelle Nullstellen an [mm] x_1 [/mm] = 3 und [mm] x_2 [/mm] = 6
c) Der Graph von p schneidet die Ordinatenachse an der Stelle p(0) = -3
Rekonstruieren sie das Polynom p vollständig aus diesen Angaben und bestimmen sie evtl. vorhandene weitere Nullstellen. |
Guten Abend,
obige Aufgabe hat ein Freund von mir zu bearbeiten und ich wollte ihm dabei helfen, was EIGENTLICH kein Problem sein sollte. Aber ich glaube so langsam, dass die Aufgabe falsch ist.
Naja, ich fang erstmal an.
a) Es gilt somit [mm]p(x) = p(-x)[/mm]
b) Es gilt somit [mm]p(3) = p(6) = 0[/mm]
So, und jetzt kommts.
Da p ja gerade ist, gilt somit [mm]p(-3) = p(3) = 0 = p(6) = p(-6)[/mm], d.h. ich habe 4 Nullstellen und damit ist ein Polynom 4. Gerades eindeutig bestimmt. Somit gilt:
[mm]p(x) = (x-6)(x-3)(x+3)(x+6)[/mm]
Und daher [mm]p(0) = (-6)*(-3)*3*6 = 18^2[/mm]
Aber in c heisst es ja, es solle gelten [mm]p(0) = -3[/mm].
Ich hoffe einer von Euch kann mir da jetzt weiterhelfen, vielleicht seh ich auch einfach den Wald vor lauter Bäumen nicht 
Liebe Grüße,
Gono.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:04 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Gilga |
Noch einen passenden Faktor an das Polynom dranhängen.... wer reserviert denn da schon wieder Grrrr
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Mi 07.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Von einem Polynom 4. Gerades p sind die folgenden
> Informationen bekannt:
>
> a) p ist eine gerade Funktion über [mm]\IR[/mm]
> b) p bestitzt reelle Nullstellen an [mm]x_1[/mm] = 3 und [mm]x_2[/mm] = 6
> c) Der Graph von p schneidet die Ordinatenachse an der
> Stelle p(0) = -3
>
> Rekonstruieren sie das Polynom p vollständig aus diesen
> Angaben und bestimmen sie evtl. vorhandene weitere
> Nullstellen.
> Guten Abend,
>
> obige Aufgabe hat ein Freund von mir zu bearbeiten und ich
> wollte ihm dabei helfen, was EIGENTLICH kein Problem sein
> sollte. Aber ich glaube so langsam, dass die Aufgabe falsch
> ist.
> Naja, ich fang erstmal an.
>
> a) Es gilt somit [mm]p(x) = p(-x)[/mm]
> b) Es gilt somit [mm]p(3) = p(6) = 0[/mm]
>
> So, und jetzt kommts.
> Da p ja gerade ist, gilt somit [mm]p(-3) = p(3) = 0 = p(6) = p(-6)[/mm],
> d.h. ich habe 4 Nullstellen und damit ist ein Polynom 4.
> Gerades eindeutig bestimmt.
Nein, ist es nicht, nur bis auf einen konstanten Faktor. Ein Polynom 4. Grades hat 5 Koeffizienten.
>Somit gilt:
>
> [mm]p(x) = (x-6)(x-3)(x+3)(x+6)[/mm]
[mm]p(x) =a(x-6)(x-3)(x+3)(x+6) \implies p(0) = 324a \implies a = -\bruch{1}{108}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:06 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Gonozal_IX |
Argh, natürlich..... ich glaub mein Kopf macht jetzt erstmal Bekanntschaft mit der Tischplatte.... danke euch beiden, war echt der berühmte Wald.
Lieben Gruß und Vielen Dank,
Gono.
|
|
|
|
