Polynom 3. Grades gesucht < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:34 Di 16.01.2007 | | Autor: | hammhe |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
0 & \mbox{x }\le\mbox{ -1} \\
P_3(x) & \mbox{-1 }\le x \le \mbox{ 1} \\
2 & \mbox{x }\ge\mbox{ 1}
\end{matrix}\right. \right
[/mm]
Wählen Sie das Polynom 3. Grades [mm] P_3(x) [/mm] so, dass an den Stellen x=-1, x=1 ein stetig differenzierbarer Übergang (d.h. Übereinstimmung von Funktionswert und Tangentensteigung) zustande kommt. |
Hallo,
Mein Ansatz ist folgender:
Aus der Angabe habe ich vier Gleichungen entnommen.
i) 0 = [mm] a(-1)^3+b(-1)^2+c(-1)+d
[/mm]
ii) 2 = [mm] a(1)^3+b(1)^2+c(1)+d
[/mm]
iii) 0 = [mm] 3a(-1)^2+2b(-1)+c
[/mm]
iiii)2 = [mm] 3a(1)^2+2b(1)+c
[/mm]
als Ergebnis erhalte ich jedoch ein Polynom 2.Grades da a = 0?
Kann mir jemand nen Tip geben wo mein Fehler liegt?
Danke
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:26 Di 16.01.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Gegeben ist die Funktion
>
> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
0 & \mbox{x }\le\mbox{ -1} \\
P_3(x) & \mbox{-1 }\le x \le \mbox{ 1} \\
2 & \mbox{x }\ge\mbox{ 1}
\end{matrix}\right. \right[/mm]
>
> Wählen Sie das Polynom 3. Grades [mm]P_3(x)[/mm] so, dass an den
> Stellen x=-1, x=1 ein stetig differenzierbarer Übergang
> (d.h. Übereinstimmung von Funktionswert und
> Tangentensteigung) zustande kommt.
> Mein Ansatz ist folgender:
>
> Aus der Angabe habe ich vier Gleichungen entnommen.
>
> i) 0 = [mm]a(-1)^3+b(-1)^2+c(-1)+d[/mm]
> ii) 2 = [mm]a(1)^3+b(1)^2+c(1)+d[/mm]
> iii) 0 = [mm]3a(-1)^2+2b(-1)+c[/mm]
> iiii)2 = [mm]3a(1)^2+2b(1)+c[/mm]
>
> als Ergebnis erhalte ich jedoch ein Polynom 2.Grades da a =
> 0?
> Kann mir jemand nen Tip geben wo mein Fehler liegt?
Die Gleichung iiii) im Ansatz ist nicht OK. In den Gleichungen iii) u. iiii) geht es doch um die Steigungen in x=1 und x=-1, und die muß in beiden Fällen =0 sein, weil links und rechts konstante Funktionen anschließen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:43 Di 16.01.2007 | | Autor: | hammhe |
Hallo Dieter,
Danke für deine Antwort, das wär auch meine ursprüngliche Überlegung gewesen, hab mich aber von Funktionswert = Tangentensteigung verunsichern lassen.
Aber du hast schon recht, jetzt erhalte ich
[mm] -0,5x^3 [/mm] + 1,5x + 1
Vielen Dank
mfg
Herbert
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