Polynom 2. Grades bestimmen. < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Mo 10.10.2011 | | Autor: | PeterLee |
| Aufgabe | | Welches Polynom zweiten Grades hat mit der Sinusfunktion f(x) = sin(x), x [mm] \in [0,\pi [/mm] ], den Scheitenpunkt und die Schnittpunkte mit der x Achse gemeinsam? |
Okay... ich hätte hier meine Lösungsansatz, doch recht schnell drehe ich mich im Kreis... vielleicht weiss ja jemand einen Ausweg.
f(x) = sin(x)
Nst: [mm] x_{1}: [/mm] (0,0), [mm] x_{2}: (\pi, [/mm] 0), Scheitelpunkt S: [mm] (\pi/2, [/mm] 1)
Nun habe das Polynom 2. Grades aufgestellt:
y= [mm] ax^2 [/mm] + bx+c
Einsetzen erste NST:
0= c --> neues Polynom : y= [mm] ax^2+bx
[/mm]
So nun habe ich die 2. Nullstelle eingesetzt --> Ergebnis:
0= [mm] \pi^2*a [/mm] + [mm] \pi [/mm] *b
Wie muss ich denn nun weitermachen?
Ich weiss, dass der Scheitelpunkt der selbe sein muss und dass der Scheitelpunkt ein Extremum (Max) sein muss.
Also:
y´(x) = 2ax+b --> x= - [mm] \bruch{b}{2a}
[/mm]
Aber jetzt komme ich nicht mehr weiter... ich hoffe doch es ist nur eine Denkblockade und kein schwerer Fehler ;)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Mo 10.10.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Welches Polynom zweiten Grades hat mit der Sinusfunktion
> f(x) = sin(x), x [mm]\in [0,\pi[/mm] ], den Scheitenpunkt und die
> Schnittpunkte mit der x Achse gemeinsam?
> Okay... ich hätte hier meine Lösungsansatz, doch recht
> schnell drehe ich mich im Kreis... vielleicht weiss ja
> jemand einen Ausweg.
>
> f(x) = sin(x)
>
> Nst: [mm]x_{1}:[/mm] (0,0), [mm]x_{2}: (\pi,[/mm] 0), Scheitelpunkt S:
> [mm](\pi/2,[/mm] 1)
Richtig.
>
> Nun habe das Polynom 2. Grades aufgestellt:
>
> y= [mm]ax^2[/mm] + bx+c
>
> Einsetzen erste NST:
>
> 0= c --> neues Polynom : y= [mm]ax^2+bx[/mm]
>
> So nun habe ich die 2. Nullstelle eingesetzt --> Ergebnis:
>
> 0= [mm]\pi^2*a[/mm] + [mm]\pi[/mm] *b
>
> Wie muss ich denn nun weitermachen?
> Ich weiss, dass der Scheitelpunkt der selbe sein muss und
> dass der Scheitelpunkt ein Extremum (Max) sein muss.
Auch alles richtig.
>
> Also:
>
> y´(x) = 2ax+b --> x= - [mm]\bruch{b}{2a}[/mm]
>
> Aber jetzt komme ich nicht mehr weiter... ich hoffe doch es
> ist nur eine Denkblockade und kein schwerer Fehler ;)
Du musst für x nur noch die entsprechende Stelle einsetzen, an der die Steigung null sein soll. Dann bekommst Du eine zweite Gleichung für zwei Unbekannte.
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Mo 10.10.2011 | | Autor: | PeterLee |
Okay...
der Punkt wo die Steigung 0 ist ist ja die Ableitung= 0
Also einsetzen in die Ableitung:
0= 2a *- [mm] \bruch{b}{2a}+b
[/mm]
Dann kann man ja 2a kürzen und es bleibt 0= -b + b und das gibt 0.
Ehrlichgesagt war ich vorher schon soweit, aber das kann ja nicht sein, oder?
Eigentlich müsste ich eine Gleichung mit den Unbekannten a und b rausbekommen, um dort dann in einnem 2er Gleicungssystem a und b zu berechnen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Mo 10.10.2011 | | Autor: | notinX |
> Okay...
> der Punkt wo die Steigung 0 ist ist ja die Ableitung= 0
>
> Also einsetzen in die Ableitung:
>
> 0= 2a *- [mm]\bruch{b}{2a}+b[/mm]
>
> Dann kann man ja 2a kürzen und es bleibt 0= -b + b und das
> gibt 0.
>
> Ehrlichgesagt war ich vorher schon soweit, aber das kann ja
> nicht sein, oder?
>
> Eigentlich müsste ich eine Gleichung mit den Unbekannten a
> und b rausbekommen, um dort dann in einnem 2er
> Gleicungssystem a und b zu berechnen?
Setze in diese Gleichung:
>
> y´(x) = 2ax+b --> x= - $ [mm] \bruch{b}{2a} [/mm] $
>
den entsprechenden x-Wert ein, an dem die Steigung =0 sein soll (heißer Tipp: Der ist nicht 0). Dann bekommst Du auch die gewünschte Gleichung.
|
|
|
|
