Polynom < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:09 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | [mm] f(X)=X^{n}+aX+b.
[/mm]
[mm] f(\bruch{-n*b}{X+(n-1)a})=\bruch{P(X)}{Q(X)}
[/mm]
sodass [mm] P(X)=(X+(n-1)a)^{n}-n*a(X+(n-1)a)^{n-1}+(-1)^{n}n^{n}b^{n-1}
[/mm]
Ich verstehe nicht, wie wir im Skript auf das P gekommen sind.
(Jetzt folgen genauere Angaben ;) ) |
[mm] f(X)=X^{n}+aX+b.
[/mm]
[mm] (a,b\in\IK [/mm] Körper und f aulösbar und irreduzibel)
[mm] \beta [/mm] ist eine Nullstelle von f und [mm] \gamma [/mm] := [mm] n*\beta^{n-1}+a
[/mm]
(also die Ableitung mit [mm] \beta [/mm] eingesetzt.)
nach ein paar Umformungen mit der Ableitung hatten wir:
[mm] \beta [/mm] = [mm] (\bruch{-n*b}{\gamma + (n-1)a}).
[/mm]
Und dann ist mit [mm] f(\bruch{-n*b}{X+(n-1)a})=\bruch{P(X)}{Q(X)}
[/mm]
[mm] \bruch{P(\gamma)}{Q(\gamma)} [/mm] = [mm] f(\beta) [/mm] = 0. Und also [mm] P(\gamma) [/mm] = 0, da [mm] P(X)=(X+(n-1)a)^{n}-n*a(X+(n-1)a)^{n-1}+(-1)^{n}n^{n}b^{n-1}. [/mm]
Dieses alles wurde ohne weitere Erklärung angegeben. Nur weiß ich nicht, woher dieses P(X) kommt, und wie ich P(X) und Q(X) konstruieren kann.
Ganz lg!
Loko
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:09 Mo 05.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(X)=X^{n}+aX+b.[/mm]
> [mm]f(\bruch{-n*b}{X+(n-1)a})=\bruch{P(X)}{Q(X)}[/mm]
> sodass
> [mm]P(X)=(X+(n-1)a)^{n}-n*a(X+(n-1)a)^{n-1}+(-1)^{n}n^{n}b^{n-1}[/mm]
>
> Ich verstehe nicht, wie wir im Skript auf das P gekommen
> sind.
> (Jetzt folgen genauere Angaben ;) )
> [mm]f(X)=X^{n}+aX+b.[/mm]
> [mm](a,b\in\IK[/mm] Körper und f aulösbar und irreduzibel)
> [mm]\beta[/mm] ist eine Nullstelle von f und [mm]\gamma[/mm] :=
> [mm]n*\beta^{n-1}+a[/mm]
> (also die Ableitung mit [mm]\beta[/mm] eingesetzt.)
>
> nach ein paar Umformungen mit der Ableitung hatten wir:
> [mm]\beta[/mm] = [mm](\bruch{-n*b}{\gamma + (n-1)a}).[/mm]
>
> Und dann ist mit
> [mm]f(\bruch{-n*b}{X+(n-1)a})=\bruch{P(X)}{Q(X)}[/mm]
> [mm]\bruch{P(\gamma)}{Q(\gamma)}[/mm] = [mm]f(\beta)[/mm] = 0. Und also
> [mm]P(\gamma)[/mm] = 0, da
> [mm]P(X)=(X+(n-1)a)^{n}-n*a(X+(n-1)a)^{n-1}+(-1)^{n}n^{n}b^{n-1}.[/mm]
> Dieses alles wurde ohne weitere Erklärung angegeben. Nur
> weiß ich nicht, woher dieses P(X) kommt, und wie ich P(X)
> und Q(X) konstruieren kann.
Setze [mm] \bruch{-n*b}{X+(n-1)a} [/mm] in f ein, mache die entstehenden Brüche gleichnamig und lese im Zähler ab, dass da tatsächlich das angegebene P steht.
FRED
>
> Ganz lg!
> Loko
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:39 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Loko |
Danke schon mal für die Antwort :)
Also, wenn ich einfach [mm] f(\bruch{-n\cdot{}b}{X+(n-1)a}) [/mm] berechne, bekomme ich nach erweitern und co
[mm] \bruch{(-n)^{n}b^{n}-nba(X+(n+1)a)^{n-1}+b(X+(n-1)a)^{n}}{(X+(n-1)a^{n})}
[/mm]
= [mm] \bruch{(-1)^{n}(n)^{n}b^{n-1}-na(X+(n+1)a)^{n-1}+(X+(n-1)a)^{n}}{b^{-1}(X+(n-1)a^{n})}
[/mm]
So OK?
Jetzt wurde im nächsten Schritt gesagt, dass dann die Norm von [mm] \gamma [/mm] ist [mm] (-1)^{n} [/mm] (da [mm] P(\gamma) [/mm] vom Grad n ist) mal der Konstanten Terme ist:
[mm] N(\gamma) [/mm] = [mm] n^{n}b^{n-1}+(-1)^{n-1}(n-1)^{n-1}a^{n}
[/mm]
Wie kommt man hier auf den zweiten Term? gibt es da einen Trick?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 07.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
