Polynmring, Endl. Körper, etc. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Polynomring, Endlicher Körper, Multiplikative Gruppe |
Hallo!
Ich beschäftige mich aus Interesse ein bisschen mit Kryptographie und der Mathematik dahinter.
Mich bringen die verschiedenen algebraischen Strukturen durcheinander.
Ich fange mal an:
> Ring ist mir klar
> Körper ist mir klar
Aber:
> Polynomring: Das ist ein Ring, dessen Elemente Polynome sind. Das sind Koeffizienten, die aus der Menge des Rings kommen, zusammen mit Variablen verschiedener Potenz. Okay. Das soll mir sagen: Rechnen mit Polynomen gehorcht den Rechengesetzen, die für die Verknüpfungen eines Rings gelten, sehe ich das richtig?
> Endliche Körper: Endliche Körper sind Körper mit endlich vielen Elemente. Okay. Können das immer nur Restklassen sein? Geht das immer nur mit der Modulo-Rechnung?
> Die Menge aller Restklassen modulo einer Primzahl p ist dasselbe wie der endliche Körper GF(p)? Also die Restklasse modulo 7 und der endliche Körper GF(7) sind dasselbe?
> Jeder endliche Körper hat [mm] |p^k| [/mm] Elemente. Was ich nicht ganz verstehe: Warum muss man bei Körpern mit [mm] |p^k| [/mm] Elementen, wobei k > 1 ist, Polynome verwenden? Wieso kann man die nicht als Zahlen ausdrücken? Mir ist der Zusammenhang zu den Polynomen hier überhaupt nicht einsichtig.
> Dann zu dem Ausdruck "Polynomring über einem Körper": Wenn ich also einen endlichen Körper mit einer nicht-primen Anzahl an Elementen habe, dann ist dieser endliche Körper ein Polynomring über dem Körper?
Das heißt der endl. Körper GF(8) = [mm] GF(2^3) [/mm] ist ein Polynomring über dem Körper GF(2)? Heißt das, wenn ich aus einem Körper GF(p) einen Körper [mm] GF(p^k) [/mm] konstruiere, ist das kein Körper sondern ein Ring? Und ich braucht noch ein irreduzibles Polynom, was als Neutralelement der Multiplikation fungiert?
> Ein Körper besteht ja aus einer additiven und eine multiplikativen Gruppe. Bei den endlichen Körpern muss man aber aus der multiplikativen Gruppe erstmal noch ein paar Elemente rausschmeißen, damit das Ganze überhaupt zu einem Körper wird, der wie?
So, das wär's dann :D
Wäre super, wenn da jemand etwas Feedback geben könnte!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:37 Do 31.03.2016 | | Autor: | statler |
Guten Morgen,
viele deiner Fragen lassen sich leicht(er) beantworten, wenn dir der Begriff 'Isomorphie' bekannt ist; ist er?
Gruß aus HH
Dieter
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Yoa, so in etwa, denke ich.
So wie ich es verstehe, ist Isomorphie so eine allgemeinere Form der Gleichheit. Es ist ein bijektiver Homomorphismus und was ein Homomorphismus ist habe ich einigermaßen verstanden:
Ein Abbildung, bei der es egal ist, ob man erst zwei Elemente der Definitionsmenge verknüpft und das Ergebnis als Funktionswert verwendet oder erst auf zwei Elemente die Funktion anwendet und die beiden Ergebnisse dann gemäß der Verknüpfung der Wertemenge verknüpft.
So ungefähr, oder?
Das heißt, bei Isomorphie ist das Ganze eben bijektiv.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Do 31.03.2016 | | Autor: | Ladon |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo NefetsClaxon,
> Polynomring, Endlicher Körper, Multiplikative Gruppe
> Hallo!
>
> Ich beschäftige mich aus Interesse ein bisschen mit
> Kryptographie und der Mathematik dahinter.
Das ist auch recht interessant. 
> Mich bringen die verschiedenen algebraischen Strukturen
> durcheinander.
>
> Ich fange mal an:
>
> > Ring ist mir klar
> > Körper ist mir klar
>
> Aber:
> > Polynomring: Das ist ein Ring, dessen Elemente Polynome
> sind. Das sind Koeffizienten, die aus der Menge des Rings
> kommen, zusammen mit Variablen verschiedener Potenz. Okay.
> Das soll mir sagen: Rechnen mit Polynomen gehorcht den
> Rechengesetzen, die für die Verknüpfungen eines Rings
> gelten, sehe ich das richtig?
In der Tat kann man einen Polynomring wie folgt definieren:
Sei $ R $ ein kommunaler Ring mit $1$.
$$ R [X]=\left\{f (X)=\sum_{i=0}^\infty a_iX^i| a_i\in R\forall i\in \IN_0, \exists i_0\in\IN_0:a_i=0\forall i> i_0 \right\} $$ heißt Polynomring. $(R[X],+,\cdot)$ ist ein Ring, wobei für $f(X)=\sum_{i=0}^\infty a_iX^i, g(X)=\sum_{i=0}^\infty b_iX^i \in R[X]$ die Verknüpfung wie folgt definiert sind:
$$f (X)+g (X)=\sum_{i=0}^\infty (a_i+b_i)X^i $$
$$ f (X)\cdot g (X) = \sum_{k=0}^\infty\left (\sum_{0\le i, j\mbox { und } i+j=k} a_ib_j\right)X^k $$
Die Multiplikation sollte dich an etwas erinnern. Wenn nicht ist das auch nicht schlimm. 
> > Endliche Körper: Endliche Körper sind Körper mit endlich
> vielen Elemente. Okay. Können das immer nur Restklassen
> sein? Geht das immer nur mit der Modulo-Rechnung?
Über die sogenannte Charakteristik eines Körpers kann man zeigen, dass ein endlicher Körper $ k $ die Charakteristik $ char(k)=p> 0$ besitzt ($p $ Primzahl) und $|k|=p^a $ mit $ a\in \IN $ ist. Jeder endliche Körper hat also $p^a$ Elemente!
Aber dieser Körper ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Man bezeichnet ihn mit $\mathbb {F}_{q}$ mit $q:=p^a$, das ist der Körper, den du vermutlich mit GF(p^a) bezeichnen würdest. Beachte, dass $\mathbb {F}_{q}$ für $a>1$ Nullteiler besitzt (siehe Kommentar unten; Danke an dieser Stelle!) und damit auch nicht mit $\IZ/p^a\IZ$ gleichzusetzen ist!
$\mathbb{F}_q$ ist bis auf Isomorphie eindeutig als Zerfällungskörper des Polynoms $X^{p^a}-X$ über $\mathbb{F}_p$ charakterisiert.
$\mathbb{F}_q$ ist Galoiserweiterung des Primkörpers $\mathbb{F}_p$. $\mathbb{F}_p$ ist Primkörper genau dann, wenn
$$ \mathbb{F}_p=\bigcap_{M\subseteq \mathbb{F}_q\mbox{ ist Teilkörper}}M$$
$\mathbb{F}_p$ ist also der kleinste Teilkörper von $\mathbb{F}_q$.
> > Die Menge aller Restklassen modulo einer Primzahl p ist
> dasselbe wie der endliche Körper GF(p)? Also die
> Restklasse modulo 7 und der endliche Körper GF(7) sind
> dasselbe?
Ja, für jede Primzahl $p$ gilt: $\mathbb{F}_p=\IZ/p\IZ$.
Es gilt sogar: Für jeden Körper $k$ mit $|k|=p$ ist $k\cong \mathbb{F}_p$.
> > Jeder endliche Körper hat [mm]|p^k|[/mm] Elemente. Was ich nicht
> ganz verstehe: Warum muss man bei Körpern mit [mm]|p^k|[/mm]
> Elementen, wobei k > 1 ist, Polynome verwenden? Wieso kann
> man die nicht als Zahlen ausdrücken? Mir ist der
> Zusammenhang zu den Polynomen hier überhaupt nicht
> einsichtig.
>
> > Dann zu dem Ausdruck "Polynomring über einem Körper":
> Wenn ich also einen endlichen Körper mit einer
> nicht-primen Anzahl an Elementen habe, dann ist dieser
> endliche Körper ein Polynomring über dem Körper?
> Das heißt der endl. Körper GF(8) = [mm]GF(2^3)[/mm] ist ein
> Polynomring über dem Körper GF(2)? Heißt das, wenn ich
> aus einem Körper GF(p) einen Körper [mm]GF(p^k)[/mm] konstruiere,
> ist das kein Körper sondern ein Ring? Und ich braucht noch
> ein irreduzibles Polynom, was als Neutralelement der
> Multiplikation fungiert?
Ich verstehe deine Fragen nicht wirklich.
Meinst du, dass die endlichen Körper $ k $ mit [mm] $|k|=p^a [/mm] $ genau die Zerfällungskörper von $ [mm] X^{p^a}-X [/mm] $ über [mm] $\mathbb {F}_p [/mm] $ sind?
Neutrales Element in einem Polynomring ist die $1$-Abbildung.
> > Ein Körper besteht ja aus einer additiven und eine
> multiplikativen Gruppe. Bei den endlichen Körpern muss man
> aber aus der multiplikativen Gruppe erstmal noch ein paar
> Elemente rausschmeißen, damit das Ganze überhaupt zu
> einem Körper wird, der wie?
Was meinst du damit?
> So, das wär's dann :D
>
> Wäre super, wenn da jemand etwas Feedback geben könnte!
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:29 Do 31.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Ladon!
> Über die sogenannte Charakteristik eines Körpers kann man
> zeigen, dass ein endlicher Körper [mm]k[/mm] die Charakteristik
> [mm]char(k)=p> 0[/mm] besitzt ([mm]p[/mm] Primzahl) und [mm]|k|=p^a[/mm] mit [mm]a\in \IN[/mm]
> ist. Aber dieser Körper ist bis auf Isomorphie eindeutig
> bestimmt, es ist [mm]\mathbb {F}_{p^a} =\IZ/p^a \IZ[/mm], das ist
> der Körper, den du vermutlich mit [mm]GF(p^a)[/mm] bezeichnen
> würdest.
Die Ringe der Form [mm] $\IZ/p^a\IZ$ [/mm] sind für $a>1$ keine Körper (nicht einmal Integritätsringe)!
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:15 Fr 01.04.2016 | | Autor: | Ladon |
Da war ich wohl zu vorschnell. Vielen Dank für deinen Kommentar.
Natürlich ist [mm] $\mathbb{F}_{p^n}$ [/mm] für $n>1$ i.A. kein Körper.
Man kann im Fall [mm] $|k|=p^n$ [/mm] nur sagen, dass [mm] $\mathbb{F}_p$ [/mm] Primkörper von $k$ ist und $k$ eine Galoiserweiterung von [mm] $\mathbb{F}_p$ [/mm] darstellt.
Viele Grüße
Ladon
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Erstmal Danke Ladon, aber da fehlt mir an vielen Stellen das Hintergrundwissen (keine Ahnung was ein Zerfällunsklrper ist,...)
Erstmal noch zu den beiden Fragen, die du nicht verstehst:
> Also mich verwirrt der Ausdruck "Polynomring über einem Körper".
Polynomring heißt ja, dass die Polynome mit 2 Verknüpfungen einen Ring bilden und dass die Koeffizienten aus der Menge kommen, die für den Ring verwendet wird (Trägermenge heißt das doch, oder?)
Bei einem Polynomring über einem Körper kommen dann die Koeffizienten aus einer Menge, die zu einem Körper gehört, bilden dann aber doch wieder einen Ring?
> Dann: Wenn ich den endlichen Körper GF(3) habe, dann sind da ja die Elemente {[0],[1],[2]} enthalten.
Wenn ich aber [mm] GF(3^2) [/mm] = GF(9) habe, dann sind die Elemente Polynome?
> Zum Schluss:
[mm] \bruch{\IZ}{10\IZ} [/mm] bildet mit der Addition eine Gruppe.
Mit der Multiplikation aber nur dann, wenn ich nur die zu 10 teilerfremden Elemente in die Gruppe mit aufnehmen. Und diese Menge heißt dann [mm] \IZ*_{10}?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Fr 08.04.2016 | | Autor: | hippias |
> Erstmal Danke Ladon, aber da fehlt mir an vielen Stellen
> das Hintergrundwissen (keine Ahnung was ein
> Zerfällunsklrper ist,...)
>
> Erstmal noch zu den beiden Fragen, die du nicht verstehst:
>
> > Also mich verwirrt der Ausdruck "Polynomring über einem
> Körper".
> Polynomring heißt ja, dass die Polynome mit 2
> Verknüpfungen einen Ring bilden und dass die Koeffizienten
> aus der Menge kommen, die für den Ring verwendet wird
> (Trägermenge heißt das doch, oder?)
>
> Bei einem Polynomring über einem Körper kommen dann die
> Koeffizienten aus einer Menge, die zu einem Körper
> gehört, bilden dann aber doch wieder einen Ring?
Richtig, die Koeffizienten der Polynome kommen aus einem Körper, aber die Menge all solcher Polynome bildet "nur" einen Ring.
>
> > Dann: Wenn ich den endlichen Körper GF(3) habe, dann sind
> da ja die Elemente {[0],[1],[2]} enthalten.
>
> Wenn ich aber [mm]GF(3^2)[/mm] = GF(9) habe, dann sind die Elemente
> Polynome?
Unter Umständen: je nachdem, wie $GF(9)$ im Einzelfall konstruiert wird, können Polynome dabei eine Rolle spielen. Ich denke dabei an so etwas: Ich betrachte den Ring der Polynome über dem Körper $GF(3)$ - wie immer der genau aussehen mag, er hat jedenfalls $3$ Elemente. Diesen Ring nenne ich $R$.
Man kann aus einem Ring auf vielfältige Weise neue Ringe konstruieren. Eine sehr wichtige Methode ist die Bildung von sogenannten Faktorringen. Ich gehe nicht auf die Details ein, aber wenn Du Interesse hast, kannst Du ja nocheinmal danach fragen.
Bildet man geschickt zu $R$ einen Faktorring, so erhält man einen Körper mit $9$ Elementen, also $GF(9)$. In diesem Sinne könnte man sagen, dass die Elemente von $GF(9)$ Polynome sind, aber jeder Mathematiker wird Dich dann korrigieren und sagen, dass dieser so konstruierte Körper sogenannte Restklassen von Polynomen enthält, aber keine Polynome.
Es liesse sich aber ohne Probleme eine nur leicht modifizierte Konstruktion angeben, bei der Körper tatsächlich nur aus $9$ Polynomen besteht. Die Modifikation wäre, dass die Multiplikation der Polynome nicht mehr dieselbe wäre. Und ich könnte mir vorstellen, dass dies bei konkreten Berechnungen in der Kryptographie auch eher so gemacht wird.
Es gibt aber auch ganz andere Konstruktionen von endlichen Körpern, die nichts mit Polynomen zu tun haben.
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> > Zum Schluss:
>
> [mm]\bruch{\IZ}{10\IZ}[/mm] bildet mit der Addition eine Gruppe.
>
> Mit der Multiplikation aber nur dann, wenn ich nur die zu
> 10 teilerfremden Elemente in die Gruppe mit aufnehmen. Und
> diese Menge heißt dann [mm]\IZ*_{10}?[/mm]
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Danke für deine Antworten, hippias!! Das Ganze ist mir jetzt auf jeden Fall klarer! Sorry, kam jetzt erst wieder dazu, hier reinzuschauen.
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