Polygonzugverfahren Kreisbogen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 So 19.02.2012 | | Autor: | sinalco |
| Aufgabe | Durch [mm] T_n [/mm] = [mm] nsin(\pi/n) [/mm] < [mm] \pi [/mm] < [mm] ntan(\pi/n) [/mm] = [mm] U_n [/mm] ist eine Einschachtelung der Zahl Pi durch Umschreibungen und Einschreibungen des halben Einheitskreises gegeben.
1.) Ist der halbe Kreisbogen rektifizierbar?
2.) Warum konvergiert dieses Polygonzugverfahren? |
meine Gedanken:
zu 1.)
rektifizierbar = wenn die Länge des Polygonzugs zu einer Zerlegung Z [mm] \in [/mm] Z[-1,1] eine endliche obere Grenze hat.
[mm] |\Gamma| [/mm] = [mm] sup_{Z \in Z[-1,1]} |P_Z (\Gamma)|
[/mm]
Da Pi irrational ist, kann keine endliche obere Grenze existieren. Das heißt der halbe Einheitskreis als Kurvenstück ist nicht rektifizierbar?!
zu 2.)
Jedoch kann man sagen, dass dieses Polygonzugverfahren konvergiert und zwar gegen die Zahl Pi für n -> [mm] \infty
[/mm]
Weshalb kann man dies sagen?
Satz der Monotonen Konvergenz:
Folge [mm] (T_n) [/mm] oder [mm] (U_n) [/mm] ist beschränkt und monoton steigend bzw. monoton fallend -> besitzen [mm] (T_n) [/mm] und [mm] (U_n) [/mm] einen Grenzwert in [mm] \IR
[/mm]
Was haltet ihr davon?
Danke für die Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 So 19.02.2012 | | Autor: | sinalco |
Falls dieses Thema im falschen Bereich liegt, dann bitte kurzer Hinweis, damit ich dort die Frage stellen kann?!
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> Durch [mm]T_n[/mm] = [mm]n*sin(\pi/n)[/mm] < [mm]\pi[/mm] < [mm]n*tan(\pi/n)[/mm] = [mm]U_n[/mm] ist eine
> Einschachtelung der Zahl Pi durch Umschreibungen und
> Einschreibungen des halben Einheitskreises gegeben.
>
> 1.) Ist der halbe Kreisbogen rektifizierbar?
>
> 2.) Warum konvergiert dieses Polygonzugverfahren?
> meine Gedanken:
>
> zu 1.)
>
> rektifizierbar = wenn die Länge des Polygonzugs zu einer
> Zerlegung Z [mm]\in[/mm] Z[-1,1] eine endliche obere Grenze hat.
>
> [mm]|\Gamma|[/mm] = [mm]sup_{Z \in Z[-1,1]} |P_Z (\Gamma)|[/mm]
>
> Da Pi irrational ist, kann keine endliche obere Grenze
> existieren. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Da verstehst du etwas falsch !
Die Längen der benötigten Streckenzüge sind natürlich
nach oben beschränkt, obwohl die Anzahl der für die
einzelnen Polygonzüge benötigten Teilstrecken gegen
unendlich streben muss für die Approximation von Pi.
> Das heißt der halbe Einheitskreis als
> Kurvenstück ist nicht rektifizierbar?!
Nein. Der Halbkreis ist rektifizierbar im Sinne der
vorliegenden Definition von Rektifizierbarkeit -
jedoch nicht im euklidischen Verständnis einer
Konstruktion mittels endlich vielen Operationen
mittels Zirkel und Lineal (dies ist aber hier gar
nicht gefragt).
> zu 2.)
>
> Jedoch kann man sagen, dass dieses Polygonzugverfahren
> konvergiert und zwar gegen die Zahl Pi für n -> [mm]\infty[/mm]
>
> Weshalb kann man dies sagen?
>
> Satz der Monotonen Konvergenz:
>
> Folge [mm](T_n)[/mm] oder [mm](U_n)[/mm] ist beschränkt und monoton steigend
> bzw. monoton fallend -> besitzen [mm](T_n)[/mm] und [mm](U_n)[/mm] einen
> Grenzwert in [mm]\IR[/mm]
Natürlich genügt es nicht, einfach auf Monotonie hin-
zuweisen. Das müsstest du beweisen !
Wie zeigst du insbesondere etwa, dass die Folge der
[mm] U_n [/mm] monoton fallend ist ?
Ferner müsstest du dann noch zeigen, dass die beiden
Grenzwerte übereinstimmen !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 So 19.02.2012 | | Autor: | sinalco |
ich fasse nochmals zusammen, ob ich es verstanden habe!
zu 1.)
Also rektifizierbar im Sinne der Definiton heißt hier, dass es eine solche obere Grenze gibt, reicht aus. Auch wenn unendlich viele solcher Schritte notwendig wären. (euklidisches Verständnis ist hier also etwas irreführend)
zu 2.)
Vorgehensweise wäre:
Konvergenz zeigen von [mm] U_n [/mm] und [mm] T_n [/mm] (monoton steigend bzw. fallend)
allgemein muss gelten [mm] T_n \le T_{n+1} [/mm] und entsprechend umgekehrt für [mm] U_n. [/mm] Wie konkret muss ich nicht wissen, es geht mir nur um eine Skizze dessen, was man machen müsste.
Dann noch zeigen, dass beide Folgen gegen [mm] \pi [/mm] konvergieren. Also die Gleichheit der Grenzwerte.
Habe ich das richtig verstanden?
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
