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Polyeder: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:15 Fr 14.05.2010
Autor: side

Aufgabe
Seien [mm] A\in\IR^{m\times\;n}, b\in\IR^m, B\in\IR^{k\times\n}, d\in\IR^k. [/mm]
Zeigen Sie, dass genau eine der beiden Aussagen gilt:
1. Ax=b, [mm] Bx\le\;d [/mm] ist lösbar
2. [mm] \exists\;u\in\IR^m\;und\; v\in\IR^k\; [/mm] so dass [mm] v\ge0, u^TA+v^TB=0^T [/mm] und [mm] u^{T}b+v^{T}d<0 [/mm]

Wer kann mir hier weiterhelfen? Was muss ich machen um zu zeigen, dass genau eine der beiden Aussagen stimmt: Muss ich zeigen [mm] A\Rightarrow\neg\;B [/mm] und [mm] \neg\;A \Rightarrow\;B? [/mm]
Und wenn das so ist, wie mach ich das?

        
Bezug
Polyeder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:02 So 16.05.2010
Autor: nikinho

Hi, ich habe vorhin dieselbe Aufgabe bearbeitet.
In der Vorlesung haben wir ja den Satz von Gordan und das Farkas-Lemma bewiesen und dort haben wir das so gemacht, dass wir gezeigt haben:
Es kann nicht beides zugleich gelten (Gilt das eine => Das andere gilt nicht).
Und dann noch (Das eine gilt nicht => Es gilt das andere). Das hat uns in der Vorlesung gereicht und ich denke das kommt hin.

Der Trick auf den ich nachher gekommen bin ist, Ax=b umzuschreiben in Ax<= b und Ax>=b. Und dann betrachten:
Ax<=b,  -Ax <= -b,  Bx<=d.

Dafür habe ich mir eine Matrix C definiert als  (A -A [mm] B)^T [/mm]
und das Problem   Cx <= [mm] (b,-b,d)^T [/mm] betrachtet, für das ich dann das Farkas Lemma benutzen konnte.

Bezug
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