Polstellen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Fr 07.12.2007 | | Autor: | DanielH |
| Aufgabe | Untersuchen sie folgende Funktion f(x) auf Definitionslücken und geben sie an, ob es sich um eine Polstelle oder eine hebbare Lücke handelt.
f(x)=(x²+3x-10) / (x²-5x-6) |
Moin,
also wir haben bei x=-1 und x=6 jeweils eine Definitionslücke (Nenner=0). Wir haben in der Schule jetzt auch für den Zähler die Nullstellen ausgerechnet (x=2, x=-5) und diese in folgende Gleichung eingesetzt:
x²+3x-10=(x-2)(x+5)
Damit soll man die Polstelle nachgewiesen haben. Jedoch kann ich nicht ganz nachvollziehen, was wir da genau gemacht haben bzw was mir die Gleichung sagen soll.
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Ich versuch dir das mal an einem anderen beispiel zu erklären:
f(x)= [mm] \bruch{5x}{x-5}
[/mm]
Def.bereich: [mm] \IR [/mm] \ {5} denn der nenner darf nicht 0 sein
Also liegt an der stelle eine Definitionlücke vor
Für die Polstelle [mm] x_{p} [/mm] gilt [mm] N(x_{p})=0 [/mm] und [mm] Z(x_{p})\not=0
[/mm]
Für die stetig behebare Lücke [mm] x_{L} [/mm] gilt: [mm] N(x_{L})=0 [/mm] und [mm] Z(x_{L})=0 [/mm] bsp: f(x)= [mm] \bruch{x²-25}{x-5} [/mm] = [mm] \bruch{(x-5)(x+5)}{x-5} [/mm] = x+5 also DB: [mm] \IR [/mm] \ {5}
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:28 Sa 08.12.2007 | | Autor: | DanielH |
Ah, jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank für Deine Hilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:05 So 09.12.2007 | | Autor: | DanielH |
| Aufgabe | | Gegeben sei die Funktion [mm] fa(x)=\wurzel{ax²-x^4}. [/mm] Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionen fa in der Umgebung der Nullstellen. |
Die Nullstellen lauten: x=0, [mm] x=\wurzel{a} [/mm] und [mm] x=-\wurzel{a} [/mm] wenn ich mich nicht verrechnet habe. Wie gehe ich nun weiter vor?
Viele Grüsse
Daniel
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Hallo
Du sollst die Umgebung untersuchen, also arbeite dort mit dem limes. schau was die funktion in der nähe von 0 macht usw...vielleicht kann man da noch was anderes machen deshalb lass ich mal die frage auf teilweise beantwortet
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 So 09.12.2007 | | Autor: | DanielH |
Danke für den Tipp. Fangen wir mal mit x=0 an:
[mm] \limes_{x\rightarrow\00}f(x)=\wurzel{ax^2-x^4} [/mm] Dann müsste als Ergebnis [mm] \wurzel{a*0-0}, [/mm] also 0, herauskommen. Die Nullstelle x=0 ist also eine hebbare Definitionslücke.
Für die Nullstellen [mm] x=\wurzel{a} [/mm] und [mm] x=-\wurzel{a} [/mm] dürfte dann folgendes gelten:
[mm] \limes_{x\rightarrow\wurzel{a}}\f(x)=\wurzel{ax^2-x^4}, [/mm] also [mm] \wurzel{a*\wurzel{a}^2-\wurzel{a}^4}. [/mm] Da kommt dann aber auch 0 heraus; es ist aber keine hebbare Definitionslücke. Wo liegt mein Fehler?
Viele Grüsse
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 So 09.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Was bedeutet eigentlich Definitionslücke bei einer Wurzelfunktion?
Bei den Brüchen durfte der Nenner nicht 0 werden.
Das was hier in der Wurzel steht darf nie kleiner als 0 werden.
Desswegen prüfen wir das ganze mal:
[mm] ax^2-x^4<0
[/mm]
[mm] x^4>ax^2
[/mm]
[mm] x^2>a
[/mm]
[mm] |x|>\wurzel{a}
[/mm]
Das wären auch schon alle Fälle, für die deine Funktion nicht definiert ist.
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