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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Polarzerlegung von $B = [mm] \begin{pmatrix}1 & -3 \\ 1 & 3\end{pmatrix}. [/mm] |
Hi,
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Habe bisher nur ähnliche Aufgaben gefunden die das ganze über die Singularwertzerlegung machen, und dazu Eigenwerte, Eigenvektoren etc. bestimmen.
Dieses Verfahren haben wir aber so weit ich weiss nicht gemacht, zumindest findet sich unter dem Stichwort "Singularwertzerlegung" nichts im Skript. Auch unter dem Stichwort "Polarzerlegung" findet sich nur dass es zu einer
invertierbaren Matrix $A [mm] \in R^{n \times n}$ [/mm] immer eindeutig bestimmte Matrizen B (orthogonal) und C (positiv definit) gibt mit:
A = BC
Habe trotzdem versucht das Ganze über die Singularwertzerlegung zu lösen, komme aber nicht sehr weit.
Gesucht ist also eine Zerlegung derart dass
$A = U [mm] \Sigma V^T$
[/mm]
gilt
Zunächst ist [mm] $BB^{tr} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}10 & - 8 \\ -8 & 10\end{pmatrix}
[/mm]
Hieraus bestimme ich mit Sarrus das char. Polynom:
[mm] (X-10)^2-64 [/mm] = (X-2)(X-18)
Somit erhalte ich als Eigenwerte [mm] $\lambda_1 [/mm] = 2$ und [mm] $\lambda_2= [/mm] 18$
(Zufall: [mm] $BB^{tr}_{1,1} \pm BB^{tr}_{2,1} [/mm] = [mm] BB^{tr}_{2,1} \pm BB^{tr}_{2,2} [/mm] = [mm] \lambda_{1,2}??) [/mm]
Mit diesen Eigenwerten kann man schnell die Eigenvektoren bestimmen, mittels:
[mm] $\begin{pmatrix}\lambda_{1,2} - 10 & 8 & \mid & 0\\ 8 & \lambda_{1,2}-10 & \mid & 0\end{pmatrix}
[/mm]
Man erhält:
Eigenvektor zu [mm] $\lambda_1$: \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
Eigenvektor zu [mm] $\lambda_2$: \vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
An dieser Stelle wird in gefunden Beispielen direkt [mm] $\Sigma$ [/mm] sowie [mm] $V^T$ [/mm] hingeschrieben. Ich habe aber keinen blassen Schimmer wie man darauf kommt.
Anschließend wird noch $U$ bestimmt, dies aber meist ausführlich dass ich da erstmal dann wieder selbst weiterkomme.
Gibt es zufällig noch eine andere (schnellere) Methode bei einer 2x2 Matrix an die Polarzerlegung zu kommen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Mi 22.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht hilft Dir das:
http://www.mathematik.uni-marburg.de/~remde/Polarzerlegung.pdf
FRED
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Ok, vielen Dank!
Das hat mir weitergeholfen. Ich habe jetzt eine Singularwertszerlegung in dern angegebenen 6 Schritten ausgerechnet:
[mm] \pmat{ -\bruch{2}{3} & -1 \\ \bruch{1}{3} & 2 }\pmat{ \wurzel{18} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} }\pmat{ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} }
[/mm]
Die Probe habe ich einfachheitshalber mit WolframAlpha gemacht: ![[]](/images/popup.gif) Probe
Die Singualrwertzerlegung hat also soweit geklappt.
Wie kann ich jetzt daraus die Polarzerlegung berechnen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 26.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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