Polarkoordinaten < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Darstellung aller z [mm] \in [/mm] C, für die gilt [mm] 5^{z} [/mm] = i |
Komm irgendwie nicht ganz auf die Lösung.
Mein Ansatz:
[mm] 5^{z} [/mm] = i --> [mm] e^{ln(5)*z} [/mm] = [mm] e^{i*(\pi/2 + 2*\pi*k)}
[/mm]
so jetz hab ich nur noch die Lösung:
z= [mm] ((4k+1)*\pi)/(2*ln(5)) [/mm] * [mm] e^{i*\pi/2}
[/mm]
Wie komme ich dahin?
Und warum kann ich nicht gleich i in [mm] e^{i*\pi/2} [/mm] umwandeln und dann den log zeihen?
Gruss
|
|
| |
|
> Berechnen Sie die Darstellung aller z [mm]\in[/mm] C, für die gilt
> [mm]5^{z}[/mm] = i
> Komm irgendwie nicht ganz auf die Lösung.
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]5^{z}[/mm] = i --> [mm]e^{ln(5)*z}[/mm] = [mm]e^{i*(\pi/2 + 2*\pi*k)}[/mm]
>
> so jetz hab ich nur noch die Lösung:
>
> z= [mm]((4k+1)*\pi)/(2*ln(5))[/mm] * [mm]e^{i*\pi/2}[/mm]
>
> Wie komme ich dahin?
> Und warum kann ich nicht gleich i in [mm]e^{i*\pi/2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
umwandeln
> und dann den log zeihen?
Ausgehend von der Gleichung
$\ e^{ln(5)*z}\ =\ e^{i*(\pi/2 + 2*\pi*k)}$
kann man doch einfach die Exponenten gleichsetzen, also:
$\ ln(5)*z}\ =\ i*(\pi/2 + 2*\pi*k)}$
durch $\ ln(5)$ dividieren und \pi ausklammern:
$\ z}\ =\ i*\frac{\pi}{ln(5)}\left(\frac{1}{2}+ 2*k\right)}$
Das i wieder in Polarform zurückzuverwandeln, halte ich
für einen Luxus, den man sich sparen sollte, weil er das
Ergebnis wieder unübersichtlicher macht.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
