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Polarkoordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:11 Di 12.05.2009
Autor: Heureka89

Ich habe die Lemniskate in kartesischen Koordinaten gegeben:
L={(x,y) [mm] \in IR^2: (x^2+y^2)^2 [/mm] - [mm] 2a^2(x^2-y^2)=0 [/mm] }
Nun versuche ich zu zeigen, dass L in Polarkoordinaten durch [mm] r=a\wurzel{2cos(2t)} [/mm] gegeben wird.

Ich habe zuerst die Gleichung mit den kartesischen Koordinaten umgeformt:

[mm] (x^2+y^2)^2 [/mm] = [mm] 2a^2(x^2-y^2) [/mm]
zieht man die Wurzel, ergibt sich:
[mm] (x^2+y^2) [/mm] = [mm] a\wurzel{2(x^2-y^2)} [/mm]

Müsste nun [mm] x^2-y^2 [/mm] = cos(2t) sein? Ich weiß nicht, wie ich dies beweisen soll.

        
Bezug
Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Di 12.05.2009
Autor: abakus

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> Ich habe die Lemniskate in kartesischen Koordinaten
> gegeben:
>  L={(x,y) [mm]\in IR^2: (x^2+y^2)^2[/mm] - [mm]2a^2(x^2-y^2)=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

>  Nun versuche ich zu zeigen, dass L in Polarkoordinaten
> durch [mm]r=a\wurzel{2cos(2t)}[/mm] gegeben wird.
>  
> Ich habe zuerst die Gleichung mit den kartesischen
> Koordinaten umgeformt:
>  
> [mm](x^2+y^2)^2[/mm] = [mm]2a^2(x^2-y^2)[/mm]
>  zieht man die Wurzel, ergibt sich:
>  [mm](x^2+y^2)[/mm] = [mm]a\wurzel{2(x^2-y^2)}[/mm]
>  
> Müsste nun [mm]x^2-y^2[/mm] = cos(2t) sein? Ich weiß nicht, wie ich
> dies beweisen soll.

Hallo,
nach Additionstheoremen (speziell der Doppelwinkelformel) gilt cos2x=cos²x-sin²x.
Gruß Abakus



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