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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Fr 15.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Offensichtlich wurden die technischen Probleme behoben.
Finde gerade keinen schlauen Platz für diese Aufgabe
Gegeben ist eine Gleichung in Polarkkordinaten
r = [mm] -4sin(\alpha)
[/mm]
Nun soll ich davon die kartesischen bestimmen
............
............
[mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2)^2 [/mm] = [mm] 16y^2
[/mm]
[mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] = [mm] \pm [/mm] 4
Offensichtlich gehen nicht [mm] \pm [/mm] 4, sondern nur -4?
Ich verstehe jedoch momentan nicht, wieso das so ist
Gruss Kuriger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Fr 15.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo
> Offensichtlich wurden die technischen Probleme behoben.
>
> Finde gerade keinen schlauen Platz für diese Aufgabe
> Gegeben ist eine Gleichung in Polarkkordinaten
> r = [mm]-4sin(\alpha)[/mm]
Ist da der Definitionsbereich eingeschränkt? Für [mm] \alpha [/mm] zwischen 0 und [mm] 2\pi [/mm] hätte r sinnlose negative Werte.
> Nun soll ich davon die kartesischen bestimmen
Hallo,
du weißt, dass [mm] x=r*cos(\alpha) [/mm] und [mm] y=r*sin(\alpha) [/mm] gilt.
Das wird wegen r = [mm]-4sin(\alpha)[/mm]
zu [mm] x=-4sin(\alpha)*cos(\alpha)
[/mm]
und [mm] y=-4sin(\alpha)*sin(\alpha)
[/mm]
Mit geeigneten trigonometrischen Beziehungen kann man [mm] \alpha [/mm] durch x oder y ausdrücken und so eine direkte Beziehung zwischen x und y herstellen.
Gruß Abakus
>
> ............
> ............
> [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2)^2[/mm] = [mm]16y^2[/mm]
> [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2)[/mm] = [mm]\pm[/mm] 4
>
> Offensichtlich gehen nicht [mm]\pm[/mm] 4, sondern nur -4?
>
> Ich verstehe jedoch momentan nicht, wieso das so ist
>
> Gruss Kuriger
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Fr 15.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo abakus
Danke für deine Antwort
Also von eienr Definitionsbereicheinschränkung steht in der Aufgabenstellung nichts.
Ich weiss nicht, wie ich deine Erklärung umsetzen soll...damit ich sehe welche der beiden Lösungen in Frage kommt
sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x)
x = -2 * [mm] sin(2\alpha)
[/mm]
y = -2 * [mm] sin^2 (2\alpha)
[/mm]
[mm] sin(2\alpha) [/mm] = - [mm] \bruch{x}{2}
[/mm]
y = -2 * (- [mm] \bruch{x}{2})^2
[/mm]
x = - [mm] \bruch{x^2}{2}
[/mm]
Danke, gruss Kuriger
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Hallo Kuriger,
da war noch die Frage nach dem Definitionsbereich. Wenn
man sich strikt an die Regel hält, dass in einer Polardar-
stellung negative r-Werte nichts zu suchen haben, dann
muss man beim Beispiel
$\ [mm] r(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] -\,4*sin(\alpha)$
[/mm]
natürlich [mm] \alpha [/mm] - Werte mit positivem Sinus ausschließen.
Dann bleibt als Definitionsbereich $\ [mm] D_{\alpha}\ [/mm] =\ [mm] [\,\pi\, ...\, 2\,\pi\,]$ [/mm] übrig.
Tatsächlich wird für diesen Definitionsbereich die vorliegende
Kurve (ein Kreis, wie du wohl inzwischen festgestellt hast)
genau einmal durchlaufen.
Liesse man aber auch die [mm] \alpha [/mm] mit positivem Sinus (und
folglich negativen $r$) zu, so würde der Kreis einfach ein
zweites Mal durchlaufen. Dabei wird ein negatives $r$ so
interpretiert, dass man den (positiven) Radius |r| in die
entgegengesetzte Richtung abträgt, mit anderen Worten
in die Richtung des Polarwinkels [mm] $\alpha\,+\,\pi$ [/mm] .
LG Al-Chw.
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Hallo Kuriger,
wegen $\ [mm] sin(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \frac{y}{r}$ [/mm] wird doch aus der Gleichung $\ r\ =\ [mm] -4\,sin(\alpha)$
[/mm]
$\ r\ =\ [mm] -4*\frac{y}{r}$
[/mm]
oder $\ [mm] r^2\ [/mm] =\ -4*y$
bzw. $\ [mm] x^2+y^2+4*y\ [/mm] =\ 0$
Diese Gleichung lässt sich gut nach y oder auch nach x
auflösen. Damit gelangt man zur Darstellung der Kurve
durch Funktionsgraphen.
Oder: Durch quadratisches Ergänzen kommt man zu einer
handlichen und leicht interpretierbaren impliziten
Darstellung der Kurvengleichung in cartesischen Koordi-
naten.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Fr 15.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Al-Chwarizmi
Danke für den Hinweis. Dieser Ansatz ist ja ume iniges einfacher
gruss Kuriger
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