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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Mo 25.05.2009 | | Autor: | anetteS |
| Aufgabe | Sei V ein komplexer Innenproduktraum (= Vektorraum mit einem Skalarprodukt),
versehen von der Norm [mm] ||v||=\wurzel{}.
[/mm]
Zeige, dass für alle v,w [mm] \in [/mm] V gilt:
||v+w||²-||v-w||²+i||v+iw||²-i||v-iw||²=4<v,w> |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe folgendermaßen angefangen:
||v+w||²-||v-w||²+i||v+iw||²-i||v-iw||²= ||v||²+||w||²+2<v,w>-(||v||²-||w||²-2<v,w>)+i||v+iw||²-i||v-iw||²
=4<v,w>+i||v+iw||²-i||v-iw||²
Das soll ja =4<v,w> sein, aber nachdem ich wie oben i||v+iw||²-i||v-iw||² aufgelöst habe, komme ich da nicht drauf:-(. Gibt es einen Trick oder einen anderen Ansatz?
Danke schön für eure Antworten.
Viele Grüße,
Anette.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Mo 25.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei V ein komplexer Innenproduktraum (= Vektorraum mit
> einem Skalarprodukt),
> versehen von der Norm [mm]||v||=\wurzel{}.[/mm]
> Zeige, dass für alle v,w [mm]\in[/mm] V gilt:
> ||v+w||²-||v-w||²+i||v+iw||²-i||v-iw||²=4<v,w>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe folgendermaßen angefangen:
> ||v+w||²-||v-w||²+i||v+iw||²-i||v-iw||²=
> ||v||²+||w||²+2<v,w>-(||v||²-||w||²-2<v,w>)+i||v+iw||²-i||v-iw||²
> =4<v,w>+i||v+iw||²-i||v-iw||²
> Das soll ja =4<v,w> sein, aber nachdem ich wie oben
> i||v+iw||²-i||v-iw||² aufgelöst habe, komme ich da nicht
> drauf:-(. Gibt es einen Trick oder einen anderen Ansatz?
>
Vorsicht ! V ist komplex, daher ist z.B.:
[mm] $||v+w||^2 [/mm] = [mm] ||v||^2 +++||w||^2$
[/mm]
Es ist $<w,v> = [mm] \overline{}$ [/mm] und i.a. [mm] $\not=$
[/mm]
Jetzt rechne nochmal
FRED
> Danke schön für eure Antworten.
> Viele Grüße,
> Anette.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Mo 25.05.2009 | | Autor: | anetteS |
Ist $ [mm] ||v-w||^2 [/mm] = [mm] ||v||^2 --+||w||^2 [/mm] $?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Mo 25.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ist [mm]||v-w||^2 = ||v||^2 --+||w||^2 [/mm]?
>
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Mo 25.05.2009 | | Autor: | anetteS |
Irgendwie komme ich dann aber nicht weiter...
Habe jetzt Folgendes:
||v+w||²-||v-w||²+i||v+iw||²-i||v-iw||²=
2<v,w>+2<w,v>+i(||v||²+<v,iw>+<iw,v>+||iw||²)-i(||v||²-<v,iw>-<iw,v>+||iw||²)
=2<v,w>+2<w,v>+i<v,iw>+i<iw,v>+i<v,iw>+i<iw,v>
=2<v,w>+2<w,v>-<v,w>-<w,v>-<v,w>-<w,v>=0
Wäre wirklich sehr dankbar, wenn mich jemand auf meinen Fehler hinweisen könnte.
Gruß v. Anette.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Mo 25.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Du beherrscht die Rechenregeln des Skalarprodukts nicht !
Es ist
[mm] $<\alpha [/mm] v,w> = [mm] \alpha$ [/mm] , aber $< [mm] v,\alpha [/mm] w> [mm] =\overline{\alpha} [/mm] <v,w>$ für [mm] \alpha \in \IC
[/mm]
Dann ist z.B.: $i<v, iw> = i [mm] \overline{i} [/mm] = <v,w>$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Mo 25.05.2009 | | Autor: | anetteS |
Danke schön, jetzt ist alles klar.
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