Poissonverteilung Exponentialv < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Do 06.01.2005 | | Autor: | juanito |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Für Facharbeit: Leider hab ich noch nicht so ganz raus wie ich meine Mathtype formeln hier reinschiebe, geht wohl nicht, eine meiner Herleitungen ist im Anhang. Kann mir jemand sage, wie ich anschaulich sowohl Poisson- als auch Exponentialverteilung herleiten kann? Ich habs jetzt für Poisson einfach über Grenzwert von der Binomialverteilung gemacht (ist die Poissonv auch der Lückenfüller für die Normalverteilung???), für Exponential über die Poissonverteilung. Ist das gängig? Weiß jemand, wo ich zusätzlich schöne Graphen von deren Verteilungs- und Dichtefunktionen herkrieg? Streng genommen gibts doch für diskrete Verteilungen keine Dichtefunktion, weil die Verteilungsfunktion nicht abgeleitet werden kann, oder? Ach ja, wie komm ich denn drauf, dass die Varianz der Poissonverteilung gleich dem Erwartungswert ist? Muss doch irgendwie mit steinerschem Satz laufen...
Vielen Dank für die Hilfe!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: eps) [nicht öffentlich]
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Ich kenne mich mit deinem Thema zwar überhaupt nicht aus, aber es hilft auch immer mal ein bisserl zu googeln!
("Wobei mir Matheraum besser geholfen hat! :D")
Ich hab zum Beispiel gleich mal das hier gefunden:
![[]](/images/popup.gif) Applet
Das Teil kannst du dir auch auf den PC holen, indem du auf die Seite gehst und dann in den Temporary Internet Files in deinem Windows Ordner das Applet kopierst und wo anders hinschiebst!
Vielleicht bringt dir das ja was!!! Aber ich bin mir sicher dass du in Google auch weitere Graphen usw. findest!!!
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Hallo juanito!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. Für Facharbeit:
Ich möchte Dich darauf aufmerksam machen, dass wir uns generell bei der Beantwortung zu Facharbeitsfragen zurückhalten (s. Forenregeln), weil Du die Arbeit ja schließlich selbst machen sollst. Ich nehme an, dass auch deshalb die Antworten zu Deinen Fragen nicht so umfangreich ausfallen...
> Leider hab ich
> noch nicht so ganz raus wie ich meine Mathtype formeln hier
> reinschiebe, geht wohl nicht, eine meiner Herleitungen ist
Dann lies mal andere Quelltexte. Das ist wirklich ganz einfach, wenn es mit Klicken nicht klappen sollte.
> im Anhang. Kann mir jemand sage, wie ich anschaulich sowohl
> Poisson- als auch Exponentialverteilung herleiten kann? Ich
> habs jetzt für Poisson einfach über Grenzwert von der
> Binomialverteilung gemacht
Ja, das ist Standard und steht ja so auch an verschiedenen Stellen im WWW.
> (ist die Poissonv auch der
> Lückenfüller für die Normalverteilung???),
Leider weiß ich nicht, was Du hier mit Lückenfüller meinst. Die Normalverteilung ist aufgrund des Zentralen Grenzwertsatzes ja aus jeder beliebigen Verteilung als Grenzverteilung für die Summe unabhängiger Zufallsvariablen herleitbar.
> für Exponential
> über die Poissonverteilung. Ist das gängig?
Das kenne ich so nicht. Hast Du das auch im Anhang? Ich sehe in Deinen Dateien nur den Beweis zur Binomialverteilung ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Die Exponentialverteilung hat ihre "Berechtigung" aus dem Kriterium der Gedächtnislosigkeit. Vielleicht suchst Du mal mit diesem Stichwort weiter.
> Weiß jemand, wo
> ich zusätzlich schöne Graphen von deren Verteilungs- und
> Dichtefunktionen herkrieg?
Na ja, die kannst Du ja auch selbst (zur Not in Excel) erzeugen, oder?
> Streng genommen gibts doch für
> diskrete Verteilungen keine Dichtefunktion, weil die
> Verteilungsfunktion nicht abgeleitet werden kann, oder?
Manchmal nennt man sie deshalb Wahrscheinlichkeitsfunktion statt Dichtefunktion und gibt einfach nur die einzelnen Wahrscheinlichkeiten zu den verschiedenen möglichen Ergebnissen an. Das ist dann eben nicht die Ableitung, sondern die Differenz zwischen den Treppenstufen der Verteilungsfunktion.
> Ach
> ja, wie komm ich denn drauf, dass die Varianz der
> Poissonverteilung gleich dem Erwartungswert ist? Muss doch
> irgendwie mit steinerschem Satz laufen...
Hm, keine Ahnung, was das mit dem Steinerschen Satz zu tun haben soll. Ich kenne es so, dass man $E(X(X-1))$ berechnet:
[mm]E(X(X-1))=\sum\limits_{k=0}^\infty k(k-1)\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\sum\limits_{k=2}^\infty \frac{\lambda^k}{(k-2)!}e^{-\lambda}[/mm]
[mm]=e^{-\lambda}\lambda^2\sum\limits_{k=2}^\infty \frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}
=e^{-\lambda}\lambda^2\sum\limits_{\tilde k=0}^\infty \frac{\lambda^{\tilde k}}{(\tilde k)!}
=e^{-\lambda}\lambda^2e^{\lambda}=\lambda^2.[/mm]
Damit folgt [mm] $E(X^2)=E(X(X-1))+E(X)=\lambda^2+\lambda$. [/mm] Insgesamt ergibt sich also
[mm]Var(X)=E(X^2)-E(X)^2=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda.[/mm]
Viele Grüße
Brigitte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 So 09.01.2005 | | Autor: | juanito |
Brigitte,
vielen Dank für die Hilfe.
Du hast die herleitung für die Varianz der Poissonverteilung mit dem Satz beendet, den ich steinerschen Satz genannt habe, also die Var ist E von Xquadrat - EvonX quadrat. Keine Ahnung, wie er wirklich heißt. Weißt dus zufällig? Im Anhang steckt meine Herleitung für die Exponentialverteilung, Seite 17 meiner Facharbeit.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Hallo juanito!
> Du hast die herleitung für die Varianz der
> Poissonverteilung mit dem Satz beendet, den ich
> steinerschen Satz genannt habe, also die Var ist E von
> Xquadrat - EvonX quadrat. Keine Ahnung, wie er wirklich
> heißt. Weißt dus zufällig?
Hm, habe bisher noch keinen Namen für diese Gleichung gesehen. Da die Umformung (ausgehend von der Formel für die Varianz) ja ziemlich elementar ist, würde ich sie auch nicht als Satz bezeichnen. Aber wenn Du das aus einer gescheiten Quelle hast, ist es ja in Ordnung, die Gleichung danach zu benennen.
> Im Anhang steckt meine
> Herleitung für die Exponentialverteilung, Seite 17 meiner
> Facharbeit.
OK, das kann man als Motivation gut nehmen. Daran hatte ich nicht gedacht. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Übrigens ist es eher unüblich, die Dichte mit F und die Verteilungsfunktion mit f zu bezeichnen. Außerdem lautet die (vollständige) Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung
[mm]F(t)=\left\{
\begin{array}{cl}
1-e^{-\alpha t} & \mbox{für } t>0\\
0 & \mbox{sonst}
\end{array}\right.[/mm]
(Erbsenzählerkommentar  )
Viele Grüße
Brigitte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Mo 10.01.2005 | | Autor: | juanito |
Äääääh, wie jetzt????
Du hast doch eben geschrieben, was mir auch durchaus bekannt vorkommt, dass die VERTEILUNGSFUNKTION üblicherweise mit f und die Dichte mit F geschrieben wird.
Im nächsten Satz aber schreibst du: Verteilungsfunktion: F(t) ....
Bitte um Aufklärung!
Möchte schließlich allllllles, jedes kleinste Detail genau so, wie ichs später in meiner Doktorarbeit schreiben werde, schreiben.
Thanksalot
juanito
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Hallo nochmal!
> Äääääh, wie jetzt????
> Du hast doch eben geschrieben, was mir auch durchaus
> bekannt vorkommt, dass die VERTEILUNGSFUNKTION
> üblicherweise mit f und die Dichte mit F geschrieben
> wird.
Nee, ich habe geschrieben, dass Deine Bezeichnungen unüblich sind.
> Im nächsten Satz aber schreibst du: Verteilungsfunktion:
> F(t) ....
> Bitte um Aufklärung!
> Möchte schließlich allllllles, jedes kleinste Detail genau
> so, wie ichs später in meiner Doktorarbeit schreiben werde,
> schreiben.
Wow, Doktorarbeit. Da weißt Du ja schon genau, was Du mal machen möchtest.
Viel Erfolg!
Brigitte
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