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| Aufgabe | Seien [mm] (U_{k})_{k \ge 1} [/mm] unabhängige, auf ]0,1[ gleichverteilte Zufallsvariablen, [mm] \lambda [/mm] > 0 und N = max{k [mm] \ge [/mm] 1 | [mm] U_{1}*.....* U_{k} \ge e^{- \lambda} [/mm] }.
Zu zeigen: N ist Poisson-verteilt zum Parameter [mm] \lambda. [/mm] |
HalliHallo,
ich brauch wieder eure Hilfe bei der Aufgabe, weil ich bei der Berechnung nicht weiter kommen. Ich hab zunächst eine allgemeine Frage: Wie sieht eine Gleichverteilung auf ]0,1[ genau aus?
Ich muss nämlich die Gleichverteilung in die untere Rechnung einsetzen.
Ich hab so angefangen:
Sei [mm] T_{k} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{k} U_{i} [/mm] der k-te zufällige Zeitpunkt
P(N = k) = [mm] P(T_{k} \le [/mm] t < [mm] T_{k+1}) [/mm] = [mm] P(\summe_{i=1}^{k} U_{i} \le [/mm] t < [mm] \summe_{i=1}^{k+1} U_{i}) [/mm] = [mm] \integral dx_{1}.... \integral dx_{k+1} \bruch{1}{\lambda^{k+1}(\Omega)} 1_{\Omega} (x_{1},...,x_{k+1}) 1_{\summe_{i=1}^{k} x_{i} \le t < \summe_{i=1}^{k+1} x_{i} }
[/mm]
Sieht so die Gleichverteilung aus?
Nun hab ich aber auch ein Problem, da ich nicht weiß, wie ich so ein Integral berechnen soll. Wo muss ich denn genau die Definiton von N einsetzen? Am Ende muss herauskommen, dass N Poisson-verteilt ist, also von der Gestalt [mm] e^{- \lambda} \bruch{\lambda^{k}}{k!}
[/mm]
Wäre nett, wenn mir jemand helfen kann.
Vielen Dank schonmal.
Gruß, Infinity
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Hallo,
kann mir bitte jemand bei der Aufgabe weiterhelfen? Ich weiß nicht, ob mein Lösungsansatz richtig ist, daher komm ich auch nicht weiter....
Ist die Gleichverteilung so richtig?
Ich würd mich freuen, wenn mir jemand antwortet!
Liebe Grüße,
Infinity
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 05.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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