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| Aufgabe | N Münzen werden nacheinander unabhängig und gleichverteilt an n Personen verteilt,
wobei N Poisson-verteilt mit Parameter n /in N sei. Sei [mm] X_i [/mm] die (zufällige) Person, die die
i-te Münze erhält. Die Familie [mm] (N,X_1,X_2, [/mm] . . .) sei unabhängig. Sei [mm] V_i [/mm] die Anzahl Münzen,
die die i-te Person erhält. Zeigen Sie, dass [mm] (V_1, [/mm] . . . , [mm] V_n) [/mm] u.i. Poisson-verteilt mit Parameter
1 sind. |
Hallo!
Wie gehe ich an diese aufgabe am besten ran ?
Was muss ich hier benutzen?
Wie komme ich auf die Poison verteilung ich weiß doch nur das N Poisonnverteilt ist???
Danke
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Di 26.06.2007 | | Autor: | honey |
Hallo, ich habe dies Aufgabe auch zu lösen, vielleicht kann mir ja jmd weiterhelfen.
Ich habe mir bisher überlegt, dass man erst zeigt, dass ein V Poisson(1)verteilt ist, und dann zeigt, dass die [mm] V_i [/mm] unabhängig identisch verteilt sind.
Angesetzt hab ich jetzt mit:
[mm] V_i=\summe_{k=1}^{N} [/mm] 1_(i) [mm] *X_k
[/mm]
Wenn ich jetzt
[mm] P(V_i=a)=P(V_i=\summe_{k=1}^{N} [/mm] 1_(i) [mm] *X_k=a)
[/mm]
betrachte weiß ich nicht, wie ich auf
[mm] P(V_i=a)=e^-1*\lambda/a!
[/mm]
kommen soll.
Als Thema hatten wir den Zentralen Grenzwertsatz und Charakteristische Funktionen, deshalb werd ich wahrscheinlich eins von beiden anwenden müssen.
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Mal eine Idee: Für gegebenes N ist [mm] V_i [/mm] offensichtlich binomialverteilt zu den Parametern N und [mm]\bruch{1}{n}[/mm]. Die beiden Stufen des Experiments sind unabhängig, daher
[mm]P(V_i=k) = \summe_m P(V_i = k | N = m) P(N=m) = \summe_m \vektor{m\\k} (\bruch{1}{n})^k (\bruch{n - 1}{n})^{n-k} \bruch{n^m}{m!}e^{-m} [/mm]
Eigentlich müsste man durch Vereinfachung jetzt zum Ergebnis kommen... (hab's aber nicht durchgerechnet).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 Mi 27.06.2007 | | Autor: | honey |
Danke, das hat mir geholfen
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