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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Poisson und ZGS
Poisson und ZGS < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Poisson und ZGS: Problem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 Do 19.06.2008
Autor: SorcererBln

Aufgabe
Zeigen Sie: Für eine Poisson verteilte Zufallsvariable [mm] $Y_\lambda$ [/mm] mit Parameter [mm] $\lambda$ [/mm] gilt für [mm] $\lambda \to \infty$: [/mm]

[mm] $\frac{Y_\lambda - \lambda}{\sqrt{\lambda}}\to [/mm] X$ in Verteilung,

wobei $X$ eine standardnomalverteilte Zufallsvariable ist.

Ich weiß, dass

[mm] $Erwatrtungswer=\lambda$, [/mm]

$Varianz = [mm] \lambda$. [/mm]

Und der zentrale Grenzwertsatz besagt

[mm] $P(\frac{\sum^\lambda_{i=1}Y_i-\lambda^2}{\lambda}\leq x)\to \phi(X)$. [/mm]

Ich komme hier leider nicht weiter. Hilfe!

        
Bezug
Poisson und ZGS: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:07 Do 19.06.2008
Autor: luis52


> Zeigen Sie: Für eine Poisson verteilte Zufallsvariable
> [mm]Y_\lambda[/mm] mit Parameter [mm]\lambda[/mm] gilt für [mm]\lambda \to \infty[/mm]:
>  
> [mm]\frac{Y_\lambda - \lambda}{\sqrt{\lambda}}\to X[/mm] in
> Verteilung,
>  
> wobei [mm]X[/mm] eine standardnomalverteilte Zufallsvariable ist.
>  Ich weiß, dass
>  
> [mm]Erwatrtungswer=\lambda[/mm],
>  
> [mm]Varianz = \lambda[/mm].
>  
> Und der zentrale Grenzwertsatz besagt
>  
> [mm]P(\frac{\sum^\lambda_{i=1}Y_i-\lambda^2}{\lambda}\leq x)\to \phi(X)[/mm].
>  
> Ich komme hier leider nicht weiter. Hilfe!

Moin SorcererBln,

ich sehe nicht, wie man hier mit dem ZGS (den du anscheinend fehlerhaft formulierst; was ist [mm] $Y_i$?) [/mm]
weiterkommen kann. Weisst du was eine momenterzeugende Funktion ist?

vg Luis



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Bezug
Poisson und ZGS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:52 Fr 20.06.2008
Autor: SorcererBln

Idee: Bestimme die Charakteristische Funktion der oberen Zufallsgröße und zeige, dass diese gegen die ch. Fkt der standartisiierten Normalverteilung konvergiert, also gegen [mm] $exp(-x^2/2)$. [/mm]

[mm] $E(e^{Z_lambda})=0$, $E(e^{Z_lambda})^2=1-\lambda^2/\sqrt{\lambda}+\lambda$. [/mm]

Dann ist mit Taylor

[mm] $\varphi_\lambda(x)=1-t^2/2\lambda(1-\lambda^2/\sqrt{\lambda}+\lambda)$. [/mm]

Aber ich sehe nun nicht die gewünschte Konvergenz. Hat jemand eine Idee?



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Bezug
Poisson und ZGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:02 Sa 21.06.2008
Autor: Blech


> Idee: Bestimme die Charakteristische Funktion der oberen
> Zufallsgröße und zeige, dass diese gegen die ch. Fkt der
> standartisiierten Normalverteilung konvergiert, also gegen
> [mm]exp(-x^2/2)[/mm].
>  
> [mm]E(e^{Z_\lambda})=0[/mm],

? Was soll das sein?

Die char. Funktion einer [mm] $Poi(\lambda)$-ZV [/mm] ist
[mm] $e^{\lambda(e^{ix}-1)}$ [/mm]
Aber hier wollen wir ja die char. Funktion von [mm] $\frac{Y-\lambda}{\sqrt{\lambda}}$ [/mm]

Dafür mußt Du schon die Reihe
[mm] $$E\left(e^{is\frac{Y-\lambda}{\sqrt{\lambda}}}\right)=\sum_{k=0}^\infty e^{is\frac{k-\lambda}{\sqrt{\lambda}}} [/mm] P(Y=k) $$
lösen.


> Dann ist mit Taylor

Taylor brauchst Du hier nicht. Hilft denk ich auch nicht wirklich. L'Hospital hingegen... =)

ciao
Stefan

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Bezug
Poisson und ZGS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:22 Sa 21.06.2008
Autor: SorcererBln

Also: Es sollte sein:

[mm] $Z_\lambda [/mm] = [mm] \frac{Y_\lambda-\lambda}{\sqrt{\lambda}}$. [/mm]

Deinen Weg habe ich auch schon probiert. Ich weiß ja

[mm] $P(Y_\lambda=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$. [/mm]

Das habe ich eingesetzt und erhalte

[mm] $e^{\lambda[ \exp(is/\lambda)-(1-is/\lambda)]}$, [/mm]

aber ich sehe nicht, wieso das jetzt gegen [mm] $exp(s^2/2)$ [/mm] konvergieren sollte?

Wieso nimmst du eigentlich $P(Y=k)$ und nicht [mm] $P(Y=k+\lambda)$?? [/mm]


Bezug
                                        
Bezug
Poisson und ZGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:44 Sa 21.06.2008
Autor: Blech


> Also: Es sollte sein:
>  
> [mm]Z_\lambda = \frac{Y_\lambda-\lambda}{\sqrt{\lambda}}[/mm].
>  
> Deinen Weg habe ich auch schon probiert. Ich weiß ja
>  
> [mm]P(Y_\lambda=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}[/mm].
>  
> Das habe ich eingesetzt und erhalte
>  
> [mm]e^{\lambda[ \exp(is/\lambda)-(1-is/\lambda)]}[/mm],

fast, es sollte
[mm] $$e^{\lambda[ \exp(is/\sqrt{\lambda})-1-is/\sqrt{\lambda}]}$$ [/mm]
sein.


> aber ich sehe nicht, wieso das jetzt gegen [mm]exp(s^2/2)[/mm]
> konvergieren sollte?

L'Hospital, nur auf den Exponenten.


> Wieso nimmst du eigentlich [mm]P(Y=k)[/mm] und nicht
> [mm]P(Y=k+\lambda)[/mm]??

[mm] $E(g(X))=\sum_{k\in\IN_0}g(k)P(X=k)$ [/mm]
Für [mm] $\IN_0$ [/mm] wertige X.

Also $ [mm] E\left(e^{is\frac{Y-\lambda}{\sqrt{\lambda}}}\right)=\sum_{k=0}^\infty e^{is\frac{k-\lambda}{\sqrt{\lambda}}} [/mm] P(Y=k) $

Mit [mm] $g(x)=e^{is\frac{x-\lambda}{\sqrt{\lambda}}}$ [/mm]

(Allgemein: [mm] $E(g(X))=\int_{X(\Omega)}g\ dP\circ X^{-1}$) [/mm]
  


Bezug
                                                
Bezug
Poisson und ZGS: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:36 Sa 21.06.2008
Autor: SorcererBln

Vielen Dank, lieber Stefan - du bist brilliant.

Ich habe es dank deiner Hilfe geschafft und natürlich, indem ich 2 mal L'Hospital angewendet habe. :-)



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