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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:17 Mo 26.11.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei X Poissonverteilte Zufallsvariable, [mm] \lambda [/mm] Parameter.
Zeige, dass
[mm] \IP(X>{k})\le{\bruch{\lambda^{k+1}}{(k+1)!}} [/mm] |
Hi,
das einzige, was mir dazu einfallen würde, wäre Induktion. Aber selbst da hakt es im Moment.
Zur Veranschaulichung der Ungleichung: Sei X die Anzahl an Personen, die bei einer Telefonhotline anrufen. k bezeichne die Anzahl der besetzten Telefone.
[mm] \IP(X>{k})\le{..} [/mm] steht z.B. für die Wahrscheinlichkeit, dass mehr Personen anrufen als Telefonleitungen zur Verfügung stehen; so verstehe ich das zumindest.
Ich weiß, dass
[mm] \IP(X=k)=\bruch{\lambda^k}{k!}*e^{-\lambda}.
[/mm]
Aber selbst hier sehe ich nicht, wie mir das helfen könnte!? ![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]")
MfG barsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Mi 28.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 So 02.12.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich glaube, mir ist jetzt selbst etwas dazu eingefallen. Ich dachte mir, vielleicht wird die Frage auch mal für andere Interessant und deswegen wäre es vorteilhaft, wenn ich meine Idee einmal poste.
Zu zeigen: $ [mm] \IP(X>{k})\le{\bruch{\lambda^{k+1}}{(k+1)!}} [/mm] $
[mm] \IP(X>{k})=\summe_{i=k+1}^{\infty}\bruch{\lambda^i}{i!}\cdot{}e^{-\lambda}
[/mm]
(jetzt würde ich eine Indexverschiebung vornehmen)
[mm] =\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{i+k+1}}{(i+k+1)!}\cdot{}e^{-\lambda}
[/mm]
[mm] =\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{\lambda^i*\lambda^{k+1}}{(i+k+1)!}\cdot{}e^{-\lambda}
[/mm]
[mm] =\lambda^{k+1}\cdot{}e^{-\lambda}*\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{\lambda^i}{(i+k+1)!}
[/mm]
Jetzt habe ich folgende Abschätzung im Internet gefunden: [mm] (n+m)!\ge{n!*m!}
[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm] \lambda^{k+1}\cdot{}e^{-\lambda}*\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{\lambda^i}{(i+k+1)!}
[/mm]
[mm] \le{\lambda^{k+1}\cdot{}e^{-\lambda}*\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{\lambda^i}{i!*(k+1)!}}
[/mm]
[mm] ={\bruch{1}{(k+1)!}*\lambda^{k+1}\cdot{}e^{-\lambda}*\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{\lambda^i}{i!}}
[/mm]
Jetzt weiß man (aus der Analysis), dass [mm] \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{\lambda^i}{i!}=e^\lambda.
[/mm]
Es folgt:
[mm] {\bruch{1}{(k+1)!}*\lambda^{k+1}\cdot{}e^{-\lambda}*\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{\lambda^i}{i!}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{(k+1)!}*\lambda^{k+1}\cdot{}e^{-\lambda}*e^\lambda=\bruch{\lambda^{k+1}}{(k+1)!}
[/mm]
Insgesamt folgt demnach:
[mm] \IP(X>{k})\le{\bruch{\lambda^{k+1}}{(k+1)!}} [/mm] q.e.d.
MfG barsch
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