Poisson-Verteilung -Gaststätte < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Fr 16.02.2007 | | Autor: | pisty |
| Aufgabe | Ein Wirt einer Gaststätte hat festgestellt, dass seine Spezialität Sauerbraten mit Klößen und Rotkohl während der Mittagszeit (11.00-13.00 Uhr) im Durchschnitt 5-maö bestellt wird.
1) Für den heutigen Tag hat der Küchenchef Klöße für 7 Portionen Sauerbraten vorrätig. Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Klöße nicht reichen, d.h. dass heute Mittag mehr als 7 Portionen Sauerbraten bestellt werden!
2) Der Küchenchef stellt fest, dass alle Klöse aufgebraucht sind. Er schickt deshalb seinen Küchenjungen zum Markt, um neue Kartoffeln für die Klöße zu kaufen. Der Junge braucht für diesen Weg ca. 20 min. Mit welcher Wahrscheinlichkeit, ist in dieser Zeit schon die nächste Bestellung eingegangen?
|
Nun habe ich mir überlegt, dass sich das ganze doch sehr gut mit der Poisson-Verteilung rechnen lässt. Dazu hier mein Ansatz.
- da in 120min 5 Bestellungen eingehen, bekommt der Koch im Schnitt aller 24min eine Bestellung.
- Intensität = [mm] \lambda [/mm] = 1/24 = 0,04167
Zu 1)
Wenn er nun wissen möchte, wie groß die Wkt. Ist, dass innerhalb von 2h mehr als 7 Bestellungen eingehen, ist gesucht:
P(X>7)
Mit dem Trick, das man die Sache umkehrt, will man also wissen, reichen die 7 Portionen?
=>
[mm] \bruch{1^0}{0!}*e^{-1}+\bruch{1^1}{1!}*e^{-1}+\bruch{1^2}{2!}*e^{-1}...+...\bruch{1^7}{7!}*e^{-1}
[/mm]
= 1-0,999494=0,00051 = 0,05%
zu 2)
gefragt ist also:
wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb von 20min keine Bestellung eingeht,
=>
[mm] 1-\bruch{(\bruch{1}{24}*20)^6}{0!}*e^{-\bruch{1}{24}*20
=1-0,4346 =0,565 =56,5
liege ich mit meiner Überlegung auf dem richtigen Weg?
die 0.05 Prozent scheinen mir ein bissel wenig zu sein. Deshalb nehme ich an, dass ich da irgendwie was falsch gemacht habe. Aber was?
Grüße
pisty
}[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 Sa 17.02.2007 | | Autor: | smee |
N'Abend pisty!
> Nun habe ich mir überlegt, dass sich das ganze doch sehr
> gut mit der Poisson-Verteilung rechnen lässt. Dazu hier
> mein Ansatz.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> - da in 120min 5 Bestellungen eingehen, bekommt der Koch im
> Schnitt aller 24min eine Bestellung.
> - Intensität = [mm]\lambda[/mm] = 1/24 = 0,04167
Ok, das mit der Intensität kenn ich so nicht, aber das scheint wohl nur ein anderer Ansatz für die Parametrisierung zu sein ...
> Zu 1)
> Wenn er nun wissen möchte, wie groß die Wkt. Ist, dass
> innerhalb von 2h mehr als 7 Bestellungen eingehen, ist
> gesucht:
>
> P(X>7)
[mm]\bruch{1^0}{0!}*e^{-1}+\bruch{1^1}{1!}*e^{-1}+\bruch{1^2}{2!}*e^{-1}...+...\bruch{1^7}{7!}*e^{-1}[/mm]
>
> = 1-0,999494=0,00051 = 0,05%
Hier stimmt irgendwas nicht ... Wieso steht bei dir denn da überall eine 1 als Parameter?
Ich glaube, du kannst es auch so machen: Es interessiert hier erstmal nur das Intervall von 11-13, also 2 Std. Du weißt, dass im Durchschnitt 5 Mahlzeiten in diesem Intervall bestellt werden, also ist dein Erwartungswert [mm] \lambda [/mm] = 5.
Mit der Poissonverteilung berechnest du nun die WS, dass in diesem Intervall [mm]n[/mm] Mahlzeiten bestellt werden. [mm]P(X > 7)[/mm] berechnest du genauso, wie bei deinem Ansatz nur, dass anstelle der 1 eine 5 da steht ...
Bei mir kommt dann [mm]P(X > 7) \approx 0,1334[/mm] heraus (ohne Gewähr ;))
Vllt. hast du dich auch nur irgendwo verrechnet ...
Ach so. Sorry, ich hatte ein Brett vorm Kopp. "Intensität" ist ja nur der Erwartungswert bei einer Zeiteinheit von einer Minute ... Da du aber bei a) ein Intervall von 120 Minuten betrachtest, musst du dann natürlich [mm]\lambda = \bruch{120}{24} = 5[/mm] wählen.
> zu 2)
>
> gefragt ist also:
> wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb von
> 20min keine Bestellung eingeht,
>
> [mm][mm] 1-\bruch{(\bruch{1}{24}*20)^6}{0!}*e^{-\bruch{1}{24}*20}
[/mm]
> =1-0,4346 =0,565 =56,5
Hab ich auch raus ... die ^6 ist sicherlich nur ein Tippfehler ... ^0 müsste es sein.
Gruß,
Carsten
|
|
|
|
