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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Sa 02.06.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Die Zufallsgröße X = Anzahl der Unfälle pro Woche in einer Fabrik genüge einer Poisson-
Verteilung mit dem Parameter [mm] \lambda [/mm] = 0,9.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich innerhalb einer Woche nicht mehr als 2 Unfälle ereignen?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in 2 aufeinanderfolgenden Wochen kein Unfall ereignet?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in 3 aufeinanderfolgenden Wochen nicht mehr als 3 Unfälle
ereignen? |
Hi Leute!
Poisson-Verteilung ist ja so definiert: [mm] $P_{\lambda}(k) [/mm] = [mm] \frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}$
[/mm]
a) $P(X [mm] \leq [/mm] 2) = P(0) + P(1) + P(2) = [mm] \frac{0,9^0}{0!} \cdot e^{-0,9} [/mm] + [mm] \frac{0,9^1}{1!} \cdot e^{-0,9} [/mm] + [mm] \frac{0,9^2}{2!} \cdot e^{-0,9} [/mm] = 2,305$
Das Ergebnis kann ja wohl nicht so ganz stimmen. Da kommen mehr als 100% raus :-D
Was ist dann da falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Sa 02.06.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
rechne noch mal nach: Das Ergebnis ist ist 0.9371.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 So 03.06.2012 | | Autor: | bandchef |
Oh, du hast Recht. Wie ich auf mein Ergebnis gekommen, weiß ich auch nicht... Aber jetzt passts ja.
Kurze Frage zu b)
Hier ist ja nach "keinem" Unfall innerhalb zwei Wochen gefragt. Kein Unfall innerhalb einer Woche bildet jetzt nicht das große Problem für mich. Das sieht dann so aus:
$P(X=0) = P(0) = [mm] \frac{0,9^0}{0!} \cdot e^{-0,9} \approx 40,66\%$
[/mm]
Wie sieht, das aber nun aus wenn ich die Wahrscheinlichkeit für keine Unfälle innerhalb ZWEI Wochen haben möchte? Muss ich dann nur noch $2 [mm] \cdot [/mm] P(X=0)$ rechnen? Das wäre dann $2 [mm] \cdot [/mm] P(X=0) [mm] \approx [/mm] 81,32 [mm] \%$
[/mm]
Oder muss ich hier das Ganze mit [mm] $\lambda [/mm] = 2 [mm] \cdot [/mm] 0,9 = 1,8$ berechnen? Das wäre dann so:
$P(X=0) = P(0) = [mm] \frac{1,8^0}{0!} \cdot e^{-1,8} \approx 16,53\%$
[/mm]
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Hallo bandchef,
> Oh, du hast Recht. Wie ich auf mein Ergebnis gekommen,
> weiß ich auch nicht... Aber jetzt passts ja.
>
> Kurze Frage zu b)
>
> Hier ist ja nach "keinem" Unfall innerhalb zwei Wochen
> gefragt. Kein Unfall innerhalb einer Woche bildet jetzt
> nicht das große Problem für mich. Das sieht dann so aus:
>
> [mm]P(X=0) = P(0) = \frac{0,9^0}{0!} \cdot e^{-0,9} \approx 40,66\%[/mm]
>
> Wie sieht, das aber nun aus wenn ich die Wahrscheinlichkeit
> für keine Unfälle innerhalb ZWEI Wochen haben möchte?
> Muss ich dann nur noch [mm]2 \cdot P(X=0)[/mm] rechnen? Das wäre
> dann [mm]2 \cdot P(X=0) \approx 81,32 \%[/mm]
Mal eine gaaaanz blöde Frage: ist es wahrscheinlicher, bei einem Wurf mit einem Würfel eine Sechs zu werfen, oder beim zweimaligen Werfen zwei Sechsen? Die Antwort auf diese Frage würde dir klarmachen, dass deine obige Idee einen großen Haken hat und unplausibler nicht sein kann. Ohne Tipp will ich dich aber nicht zurücklassen: betrachte es als zweistufiges Zufallsexperiment.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 So 03.06.2012 | | Autor: | bandchef |
Eine einzige 6 zu würfeln ist wahrscheinlicher.
Also ist wohl mein zweiter Ansatz richtig?
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Hallo,
> Eine einzige 6 zu würfeln ist wahrscheinlicher.
>
> Also ist wohl mein zweiter Ansatz richtig?
Ja.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 So 03.06.2012 | | Autor: | bandchef |
Frage zur Berechnung:
Muss man so berechnen:
$ P(X=0) = P(0) = [mm] \frac{1,8^0}{0!} \cdot e^{-1,8} \approx 16,53\% [/mm] $
oder so:
$ P(X=0) = P(0) = [mm] \frac{2\cdot 0,9^0}{0!} \cdot e^{-1,8} \approx 33,06\% [/mm] $
Hier denke ich, dass Variante 1 richtig sein sollte. Ich muss ja von einem veränderten [mm] \lambda [/mm] "als Ganzes" ausgehen!
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Hallo bandchef,
Variante 1 ist richtig. Und jetzt überlege dir mal folgendes: deine Poissonverteilung liefert dir die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Unfälle innert einer Woche. Wenn du jetzt einen Zeitraum von n Wochen betrachtest mit n>1, dann müsste (da man annimmt, dass die Anzahlen sich nicht gegenseitig beeinflussen) sich bspw. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass n Wochen lang nichts passiert, mittels
[mm] P_n(Y=0)=\left(P(X=0)\right)^n
[/mm]
berechnen lassen. Und siehe da:
[mm] P_2(Y=0)=\bruch{1.8^0}{0!}*e^{-1.8}=1*e^{-0.9*2}=\left(\bruch{0.9^0}{0!}*e^{-0.9}\right)^2=\left(P(X=0)\right)^2
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 So 03.06.2012 | | Autor: | bandchef |
Das $ [mm] P_2(Y=0)=\bruch{1.8^0}{0!}\cdot{}e^{-1.8}=1\cdot{}e^{-0.9\cdot{}2}=\left(\bruch{0.9^0}{0!}\cdot{}e^{-0.9}\right)^2=\left(P(X=0)\right)^2 [/mm] $ geht aber dann nur, wenn die Anzahl der Woche(n) gleich einer einzigen ist. Wenns >2 wird, dann passt doch das dann nicht mehr, oder?
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Hallo,
> Das
> [mm]P_2(Y=0)=\bruch{1.8^0}{0!}\cdot{}e^{-1.8}=1\cdot{}e^{-0.9\cdot{}2}=\left(\bruch{0.9^0}{0!}\cdot{}e^{-0.9}\right)^2=\left(P(X=0)\right)^2[/mm]
> geht aber dann nur, wenn die Anzahl der Woche(n) gleich
> einer einzigen ist. Wenns >2 wird, dann passt doch das dann
> nicht mehr, oder?
andersherum wird ein Schuh draus: deine Rechnung mit dem doppelten [mm] \lambda [/mm] funktioniert nur, wenn die Wahrscheinlichkeit P(X=0) gesucht ist, sonst, also im allgemeinen, funktioniert das nicht!
Für alle anderen Werte von X musst du folgendes bedenken. Angenommen, du möchtest berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass zwei Wochen hintereinander jeweils ein Unfall pro Woche passiert. Dein Ansatz mit der Verdopplung von [mm] \lambda [/mm] würde dir hier eine andere Wahrscheinlichkeit liefern, nämlich dafür, dass innerhalb von zwei Wochen zwei Unfälle passieren, wobei es egal ist, ob jede Woche einer passiert oder ob in einer Woche zwei passieren, in der anderen Woche keiner. Und das ist etwas anderes. Vielleicht sollte man an dieser Stelle auch noch einmal darauf hinweisen, dass der Parameter [mm] \lambda [/mm] der Poisson-Verteilung nichts anderes ist, als ihr Erwartungswert.
Gruß, Diophant
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