Poisson-Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Di 01.06.2010 | | Autor: | kevin-m. |
| Aufgabe | Ein Meinungsforschungsinstitut ruft Menschen an, um eine telefonische Meinungsumfrage durchzuführen. Durchschnittlich erklärt sich jede 10. Person dazu bereit, an der Umfrage teilzunehmen.
i) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 40 angerufenen Personen mindestens eine dazu bereit erklärt, an der Meinungsumfrage teilzunehmen?
ii) Wie viele Personen müssen angerufen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% mindestens eine Person für die Umfrage zu gewinnen?
Hinweis: Poisson-Verteilung |
Hallo,
da im Aufgabentext schon der Hinweis auf die Poisson-Verteilung gegeben ist, werde ich auch diese Verteilung benutzen.
Die Wahrscheinlichkeit ist also allgemein $P (X=k) = [mm] \frac{\lambda^k}{k!}\, \mathrm{e}^{-\lambda}$
[/mm]
zu i) : Ich muss also nur [mm] $\lambda$ [/mm] und k bestimmen.
[mm] $\lambda=n\cdot [/mm] p = 40 [mm] \cdot \frac{1}{10}=4$
[/mm]
Ich berechne die Gegenwahrscheinlichkeit und ziehe diese von 1 ab und erhalte somit:
[mm] $P(X\geq [/mm] 1)=1-P (X=0) = [mm] 1-\left (\frac{4^0}{0!}\, \mathrm{e}^{-4} \right [/mm] )=0.9816$
Ist das richtig?
Bei der zweiten Teilaufgabe weiß ich leider nicht, wie ich das berechnen soll. Vielleicht könnt ihr mir dazu einen Tipp geben.
Viele Grüße,
Kevin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Kevin,
> Ein Meinungsforschungsinstitut ruft Menschen an, um eine
> telefonische Meinungsumfrage durchzuführen.
> Durchschnittlich erklärt sich jede 10. Person dazu bereit,
> an der Umfrage teilzunehmen.
>
> i) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 40
> angerufenen Personen mindestens eine dazu bereit erklärt,
> an der Meinungsumfrage teilzunehmen?
>
> ii) Wie viele Personen müssen angerufen werden, um mit
> einer Wahrscheinlichkeit von 90% mindestens eine Person
> für die Umfrage zu gewinnen?
>
> Hinweis: Poisson-Verteilung
> Hallo,
>
> da im Aufgabentext schon der Hinweis auf die
> Poisson-Verteilung gegeben ist, werde ich auch diese
> Verteilung benutzen.
>
> Die Wahrscheinlichkeit ist also allgemein [mm]P (X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}\, \mathrm{e}^{-\lambda}[/mm]
>
> zu i) : Ich muss also nur [mm]\lambda[/mm] und k bestimmen.
> [mm]\lambda=n\cdot p = 40 \cdot \frac{1}{10}=4[/mm]
> Ich berechne
> die Gegenwahrscheinlichkeit und ziehe diese von 1 ab und
> erhalte somit:
>
> [mm]P(X\geq 1)=1-P (X=0) = 1-\left (\frac{4^0}{0!}\, \mathrm{e}^{-4} \right )=0.9816[/mm]
>
> Ist das richtig?
Das sieht gut aus. Ich habe den exakten Wert jetzt nicht nachgerechnet, aber die Größenordnung sollte stimmen.
> Bei der zweiten Teilaufgabe weiß ich leider nicht, wie ich
> das berechnen soll. Vielleicht könnt ihr mir dazu einen
> Tipp geben.
Du musst doch nur die Überlegungen von eben rückwärts gehen:
Gelten soll
[mm]P(X\geq 1)=1-P (X=0) = 1-\left (\frac{\lambda^0}{0!}\, \mathrm{e}^{-\lambda} \right )\ge 0.90[/mm]
Das löst du nach [mm] $\lambda$ [/mm] auf und sodann liefert dir die Beziehung [mm] $\lambda=n\cdot [/mm] p$ das gesuchte n.
Viele Grüße,
Marc
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