Poisson-Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Johie |
| Aufgabe | Gegeben seien zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] mit Poisson-Verteilung [mm] L(X_i) [/mm] = [mm] Pois(\mu_i), \mu [/mm] > 0 und für i=1,2
Für feste n [mm] \in \IN [/mm] bestimme man die bedingte Verteilung von [mm] X_1 [/mm] unter der Bedingung [mm] X_1 [/mm] + [mm] X_2 [/mm] =n, d.h. man bestimme die bedingten Wahrscheinlichkeiten [mm] P{X_1 =k|X_1 + X_2 =n} [/mm] für alle k=0,1,...
Wie heißt die resultierende bedingte Verteilung? Wie lassen sich ihr(e) Parameter in Abhängigkeit von [mm] \mu_1 [/mm] und [mm] \mu_2 [/mm] angeben? Wie lautet die entsprechende bedingte Verteilung der anderen Zufallsvariablen [mm] X_2 [/mm] und der Bedingung [mm] X_1 [/mm] + [mm] X_2 [/mm] =n? |
Hallo, habe schon einen Ansatz, komme dann aber nicht weiter, da ich nicht genau weiß, wie ich dann einsetzen muss, vielleicht könnt ihr mir da helfen...
[mm] X_1 [/mm] ~ [mm] Pois(\mu_1)
[/mm]
[mm] X_2 [/mm] ~ [mm] Pois(\mu_2)
[/mm]
[mm] X_1+X_2=n [/mm] ~ [mm] Pois(\mu_1+\mu_2)
[/mm]
Zu berechnen ist die bedingte Wahrscheinlichkeit: [mm] P(X_1=k|X_1+X_2=n)
[/mm]
Nach der Def. der bedingten Wahrscheinlichkeit gilt:
[mm] P(X_1=k|X_1+X_2=n) [/mm] = [mm] \bruch{P(X_1=k, X_1+X_2=n)}{X_1+X_2=n}
[/mm]
Außerdem:
[mm] P(X_1=k, X_1+X_2=n) [/mm] = [mm] P(X_1=k, X_2=n-x_1) [/mm] = [mm] P(X_1=k) [/mm] * [mm] P(X_2=n-x_1)
[/mm]
[mm] \Rightarrow P(X_1=k|X_1+X_2=n) [/mm] = [mm] \bruch{P(X_1=k)*P(X_1+X_2=n)}{P(X_1+X_2=n)}
[/mm]
So bis hierin bin ich gekommen, ist das soweit schon mal richtig?
Jetzt muss ich eigentlich in die Formel nur noch die Poisson-Verteilung einsetzen und da hapert es bei mir jetzt ein wenig.
Die Poisson-Verteilung an sich ist doch dies hier: [mm] p(k|\mu)=P(k)=\bruch{1}{k!} [/mm] * [mm] e^{-\mu} [/mm] * [mm] \mu^k
[/mm]
Diesen Term muss ich doch nun einsetzen, oder?
Wie mache ich das für die drei verschiedenen Ausdrücke in der Gleichung?
Wäre schön, wenn mir hier jemand auf die Sprünge helfen könnte...
Gruß Johie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Sa 29.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> So bis hierin bin ich gekommen, ist das soweit schon mal
> richtig?
>
Fast:
$P(X_1=k, X_1+X_2=n) = P(X_1=k, X_2=n-k) = P(X_1=k)*P(X_2=n-k)$
$ \Rightarrow P(X_1=k|X_1+X_2=n) = \bruch{P(X_1=k)*P(X_2=n-k)}{P(X_1+X_2=n)$
> Jetzt muss ich eigentlich in die Formel nur noch die
> Poisson-Verteilung einsetzen und da hapert es bei mir jetzt
> ein wenig.
> Die Poisson-Verteilung an sich ist doch dies hier:
> [mm]p(k|\mu)=P(k)=\bruch{1}{k!}[/mm] * [mm]e^{-\mu}[/mm] * [mm]\mu^k[/mm]
> Diesen Term muss ich doch nun einsetzen, oder?
Ja, aber jeweils zugeschnitten auf [mm] X_1, X_2 [/mm] und [mm] X_1+X_2.
[/mm]
> Wie mache ich das für die drei verschiedenen Ausdrücke in
> der Gleichung?
>
Versuch's einfach mal.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 So 30.11.2008 | | Autor: | Johie |
So, dann habe ich folgendes:
[mm] P(X_1=k) [/mm] = [mm] \bruch{1}{k!} [/mm] * [mm] e^{-\mu_1} [/mm] * [mm] \mu_1^k
[/mm]
Bei dem nächsten bin ich mir nicht sicher, habe mir das jetzt so gedacht, dass man ja in diesem Fall k = n-k ist und deshalb für k, dann immer n-k eingesetzt werden muss:
[mm] P(X_2=n-k) [/mm] = [mm] \bruch{1}{(n-k)!} [/mm] * [mm] e^{-\mu_2} [/mm] * [mm] \mu_2^{n-k}
[/mm]
Und ähnlich dann auch bei [mm] X_1+X_2=n:
[/mm]
[mm] P(X_1+X_2=n) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n!} [/mm] * [mm] e^{-\mu_1+\mu_2} [/mm] * [mm] (\mu_1+\mu_2)^n
[/mm]
Kann das stimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 So 30.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> So, dann habe ich folgendes:
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> [mm]P(X_1=k)[/mm] = [mm]\bruch{1}{k!}[/mm] * [mm]e^{-\mu_1}[/mm] * [mm]\mu_1^k[/mm]
>
> Bei dem nächsten bin ich mir nicht sicher, habe mir das
> jetzt so gedacht, dass man ja in diesem Fall k = n-k ist
> und deshalb für k, dann immer n-k eingesetzt werden muss:
> [mm]P(X_2=n-k)[/mm] = [mm]\bruch{1}{(n-k)!}[/mm] * [mm]e^{-\mu_2}[/mm] * [mm]\mu_2^{n-k}[/mm]
>
> Und ähnlich dann auch bei [mm]X_1+X_2=n:[/mm]
> [mm]P(X_1+X_2=n)[/mm] = [mm]\bruch{1}{n!}[/mm] * [mm]e^{-\mu_1+\mu_2}[/mm] *
> [mm](\mu_1+\mu_2)^n[/mm]
>
> Kann das stimmen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 So 30.11.2008 | | Autor: | Johie |
Schön, dann muss ich die Sachen ja einfach nur noch einsetzen. Habe mich allerdings gerade selber korrigiert, müssten die [mm] \mu [/mm] bei [mm] P(X_1+X_2=n) [/mm] bei der Expo nicht in Klammern gesetzt werden?
Habe es mal gemacht und dann weiter gerechnet:
[mm] P(X_1=k|X_1+X_2=n)=\bruch{\frac{1}{k!}*e^{-\mu_1}*\mu_1^{k}*\frac{1}{(n-k)!}*e^{-\mu_2}*\mu_2^{n-k}}{\bruch{1}{n!}*e^{-(\mu_1+\mu_2)}*(\mu_1+\mu_2)^n}
[/mm]
[mm] =\bruch{\frac{1}{k!}*e^{-\mu_1-\mu_2}*\mu_1^{k}*\frac{1}{(n-k)!}*\mu_2^{n-k}}{\bruch{1}{n!}*e^{-\mu_1-\mu_2}*(\mu_1+\mu_2)^n}
[/mm]
[mm] =\bruch{\frac{1}{k!}*\mu_1^{k}*\frac{1}{(n-k)!}*\mu_2^{n-k}}{\bruch{1}{n!}*(\mu_1+\mu_2)^n}
[/mm]
Mhh, und hier komm ich dann schon nicht weiter, ist das überhaupt richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 So 30.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> Schön, dann muss ich die Sachen ja einfach nur noch
> einsetzen. Habe mich allerdings gerade selber korrigiert,
> müssten die [mm]\mu[/mm] bei [mm]P(X_1+X_2=n)[/mm] bei der Expo nicht in
> Klammern gesetzt werden?
> Habe es mal gemacht und dann weiter gerechnet:
>
> [mm]P(X_1=k|X_1+X_2=n)=\bruch{\frac{1}{k!}*e^{-\mu_1}*\mu_1^{k}*\frac{1}{(n-k)!}*e^{-\mu_2}*\mu_2^{n-k}}{\bruch{1}{n!}*e^{-(\mu_1+\mu_2)}*(\mu_1+\mu_2)^n}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\frac{1}{k!}*e^{-\mu_1-\mu_2}*\mu_1^{k}*\frac{1}{(n-k)!}*\mu_2^{n-k}}{\bruch{1}{n!}*e^{-\mu_1-\mu_2}*(\mu_1+\mu_2)^n}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\frac{1}{k!}*\mu_1^{k}*\frac{1}{(n-k)!}*\mu_2^{n-k}}{\bruch{1}{n!}*(\mu_1+\mu_2)^n}[/mm]
>
>
> Mhh, und hier komm ich dann schon nicht weiter, ist das
> überhaupt richtig?
Ja, du stehst kurz vorm Ziel! Soll ich dir das Erfolgserlebnis nehmen?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 So 30.11.2008 | | Autor: | Johie |
Mhh, also habe es noch weiter gemacht, habe die Fakultäten aufgelöst... Aber ob ich damit jetzt richtig bin, bezweifel ich, da ich dann zum Schluss einen richtig blöden Ausdruck bekommen.
[mm] =\bruch{n!*\mu_1^k * \mu_2^{n-k}}{k!*(n-k)!*(\mu_1+\mu_2)^n}
[/mm]
Jetzt habe ich die Fakultäten ausgeschrieben und ein Teil von n! und (n-k)! gekürzt, aber dann bleibt das übrig und ich glaub, dass das falsch ist:
[mm] =\bruch{n(n-1)(n-2)*...*(n-(k-1)) * \mu_1^k * \mu_2^{n-k}}{k!*(\mu_1+\mu_2)^n}
[/mm]
Wenn das richtig sein sollte, was ich gerade bezweifel, was fange ich dann damit an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 So 30.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> Mhh, also habe es noch weite
r gemacht, habe die Fakultäten
> aufgelöst... Aber ob ich damit jetzt richtig bin, bezweifel
> ich, da ich dann zum Schluss einen richtig blöden Ausdruck
> bekommen.
[mm] \bruch{n!*\mu_1^k * \mu_2^{n-k}}{k!*(n-k)!*(\mu_1+\mu_2)^n}= \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
[/mm]
mit [mm] p=\mu_1/(\mu_1+\mu_2).
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 So 30.11.2008 | | Autor: | Johie |
Ich habe da gerade ein wenig Schwierigkeiten zu folgen.
[mm] =\bruch{n!*\mu_1^k *\mu_2^{n-k}}{k! *(n-k)! * (\mu_1+\mu_2)^n}
[/mm]
[mm] =\vektor{n \\ k}*\bruch{\mu_1^k *\mu_2^{n-k}}{(\mu_1+\mu_2)^n}
[/mm]
[mm] =\vektor{n \\ k}*\bruch{\mu_1^k}{(\mu_1+\mu_2)^n} *\bruch{\mu_2^{n-k}}{(\mu_1+\mu_2)^n}
[/mm]
Und nun, also erstmal stimmen bei mir die Potenzen nicht und wo ist die 1 hergekommen?
Oder muss ich das ^n wegnehmen, da ich es ja jetzt reintheoretisch zweimal multipliziere und somit wieder n-mal rauskommen würde, na ja, eigentlich wäre es ja dann ^2... Wäre nur eine Theorie, um es zu erklären. Aber die 1 fehlt bei mir trotzdem...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 So 30.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> Ich habe da gerade ein wenig Schwierigkeiten zu folgen.
>
> [mm]=\bruch{n!*\mu_1^k *\mu_2^{n-k}}{k! *(n-k)! * (\mu_1+\mu_2)^n}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{n \\ k}*\bruch{\mu_1^k *\mu_2^{n-k}}{(\mu_1+\mu_2)^n}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{n \\ k}*\bruch{\mu_1^k}{(\mu_1+\mu_2)^n} *\bruch{\mu_2^{n-k}}{(\mu_1+\mu_2)^n}[/mm]
>
> Und nun, also erstmal stimmen bei mir die Potenzen nicht
> und wo ist die 1 hergekommen? :(
Was sind den das fuer kuhne Umformungen? 
[mm] \vektor{n \\ k}*\bruch{\mu_1^k *\mu_2^{n-k}}{(\mu_1+\mu_2)^n} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k}*\bruch{\mu_1^k}{(\mu_1+\mu_2)^{k}} *\bruch{\mu_2^{n-k}}{(\mu_1+\mu_2)^{n-k}}
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 So 30.11.2008 | | Autor: | Johie |
Ohh...
Ja, so sieht das natürlich gleich viel netter aus :) Toll, da hätte ich auch mal selbst drauf kommen können.
Also ist meine bedingte Verteilung, die Binomialverteilung mit [mm] p=\bruch{\mu_1}{(\mu_1+\mu_2)}
[/mm]
Aber bin gerade ein wenig verwirrt von meiner eigenen Rechnung... Um ein wenig Klarheit zu bekommen, meine bedingte Wahrscheinlichkeit ist doch dann nur der Ausdruck:
[mm] P(X_1=k|X_1+X_2=n)=\bruch{P(X_1=k)\cdot{}P(X_1+X_2=n)}{P(X_1+X_2=n)}
[/mm]
Oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 So 30.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> Ohh...
>
> Ja, so sieht das natürlich gleich viel netter aus :) Toll,
> da hätte ich auch mal selbst drauf kommen können.
>
> Also ist meine bedingte Verteilung, die Binomialverteilung
> mit [mm]p=\bruch{\mu_1}{(\mu_1+\mu_2)}[/mm]
>
> Aber bin gerade ein wenig verwirrt von meiner eigenen
> Rechnung... Um ein wenig Klarheit zu bekommen, meine
> bedingte Wahrscheinlichkeit ist doch dann nur der
> Ausdruck:
>
> [mm]P(X_1=k|X_1+X_2=n)=\bruch{P(X_1=k)\cdot{}P(X_1+X_2=n)}{P(X_1+X_2=n)}[/mm]
>
> Oder?
Ja:
[mm] P(X_1=k|X_1+X_2=n)=\bruch{P(X_1=k)\cdot{}P(X_1+X_2=n)}{P(X_1+X_2=n)}=\vektor{n \\ k}\cdot{}\bruch{\mu_1^k}{(\mu_1+\mu_2)^{k}} \cdot{}\bruch{\mu_2^{n-k}}{(\mu_1+\mu_2)^{n-k}}
[/mm]
Was stoert dich denn? Das ist doch ein huebsches Ergebnis.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 So 30.11.2008 | | Autor: | Johie |
Nichts, wollte nur sicher gehen, ob ich das nun alles richtig habe :)
Und was ist nur mit der nächsten Frage gemeint: Wie lassen sich ihr(e) Parameter in Abhängigkeit von [mm] \mu_1 [/mm] und [mm] \mu_2 [/mm] angeben?
Wie lautet die entsprechende bedingte Verteilung der anderen Zufallsvariablen [mm] X_2 [/mm] unter der Bedingung [mm] X_1+X_2=n?
[/mm]
Also hierzu habe ich mir schon meine Gedanken gemacht... Aber irgendwie haut das nicht so richtig hin...
[mm] P(X_2=n-k|X_1+X_2=n) [/mm] und wenn man das nun so umformt, wie bei der anderen bekommt man aber den selben Term raus, nur das sich die Plätze im Zähler vertauschen, aber das ändert ja nichts...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 So 30.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> Nichts, wollte nur sicher gehen, ob ich das nun alles
> richtig habe :)
>
> Und was ist nur mit der nächsten Frage gemeint: Wie lassen
> sich ihr(e) Parameter in Abhängigkeit von [mm]\mu_1[/mm] und [mm]\mu_2[/mm]
> angeben?
Binomialverteilung mit n und [mm] p=\mu_1/(/mu_1+\mu_2)
[/mm]
>
> Wie lautet die entsprechende bedingte Verteilung der
> anderen Zufallsvariablen [mm]X_2[/mm] unter der Bedingung
> [mm]X_1+X_2=n?[/mm]
> Also hierzu habe ich mir schon meine Gedanken gemacht...
> Aber irgendwie haut das nicht so richtig hin...
> [mm]P(X_2=n-k|X_1+X_2=n)[/mm] und wenn man das nun so umformt, wie
> bei der anderen bekommt man aber den selben Term raus, nur
> das sich die Plätze im Zähler vertauschen, aber das ändert
> ja nichts...
>
>
Doch Binomialverteilung mit n und [mm] q=\mu_2/(/mu_1+\mu_2)
[/mm]
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
vg Luis
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