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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Di 28.10.2014 | | Autor: | GeMir |
| Aufgabe | | Seien [mm] $$X_1, \ldots, X_n \overset{iid}{\sim} Po(\lambda), [/mm] \ [mm] \lambda [/mm] > 0$$ Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für [mm] $\lambda$. [/mm] |
Die Likelihood-Funktion ist gegeben durch:
$L(p | [mm] x_1, \ldots, x_n) [/mm] &= [mm] \prod_{i=1}^{n}{\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda}}$
[/mm]
(gemeinsame Dichte von $n$ stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen).
Die Log-Likelihood-Funktion ist somit gegeben durch:
$l(p | [mm] x_1, \ldots, x_n) [/mm] = [mm] \ln\Bigg(\prod_{i=1}^{n}{\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda}}\Bigg) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{n}{\ln\Bigg(\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda}}\Bigg)\\
[/mm]
= [mm] \sum_{i=1}^{n}{\big(\ln(\lambda^{x_i}) - \ln(x_i!) + \ln(e^{-\lambda})\big)}\\
[/mm]
= [mm] \sum_{i=1}^{n}{\big(x_i\cdot\ln(\lambda) - \ln(x_i!) -\lambda\big)}\\
[/mm]
= [mm] \ln(\lambda)\cdot\sum_{i=1}^{n}{x_i} [/mm] - [mm] \sum_{i=1}^{n}{\ln(x_i!)} [/mm] - [mm] \sum_{i=1}^{n}{\lambda}\\
[/mm]
= [mm] \ln(\lambda)\cdot n\cdot\bar{x} [/mm] - [mm] \sum_{i=1}^{n}{\ln(x_i!)} [/mm] - [mm] n\cdot\lambda$
[/mm]
Notwendige Bedingung: [mm] $\frac{\partial l}{\partial p} [/mm] = 0$
[mm] $\frac{\partial l}{\partial \lambda} [/mm] &= [mm] \frac{1}{\lambda}\cdot n\cdot\bar{x} [/mm] - n$
Also:
[mm] $\frac{1}{\lambda}\cdot n\cdot\bar{x} [/mm] - n = 0$
Wegen $n [mm] \neq [/mm] 0$ und [mm] $\lambda [/mm] > 0$:
[mm] $\frac{1}{\lambda}\cdot\bar{x} [/mm] - 1 = [mm] 0\\
[/mm]
[mm] \frac{1}{\lambda}\cdot\bar{x} [/mm] = [mm] 1\\
[/mm]
[mm] \bar{x} [/mm] = [mm] \lambda$
[/mm]
Hinreichende Bedingung: [mm] $\frac{\partial^2 l}{\partial \lambda\partial \lambda} \neq [/mm] 0$
[mm] $\frac{\partial^2 l}{\partial \lambda\partial \lambda} [/mm] = [mm] -\frac{1}{\lambda^2}\cdot n\cdot\bar{x}$
[/mm]
Und an der Stelle komme ich irgendwie nicht weiter, weil der Wert von [mm] $\bar{x}$ [/mm] ja von einer konkreten Realisation der Stichprobe abhängt.
Ups, die Frage hat sich erledigt: der Träger ist ja [mm] \mathbb{N}_0 [/mm] :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Di 28.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo GeMir,
> Seien [mm]X_1, \ldots, X_n \overset{iid}{\sim} Po(\lambda), \ \lambda > 0[/mm]
> Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für
> [mm]$\lambda$.[/mm]
>
>
> Die Likelihood-Funktion ist gegeben durch:
> [mm]L(p | x_1, \ldots, x_n) &= \prod_{i=1}^{n}{\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda}}[/mm]
>
> (gemeinsame Dichte von [mm]n[/mm] stochastisch unabhängigen
> Zufallsvariablen).
>
> Die Log-Likelihood-Funktion ist somit gegeben durch:
>
> $l(p | [mm]x_1, \ldots, x_n)[/mm] =
> [mm]\ln\Bigg(\prod_{i=1}^{n}{\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda}}\Bigg)[/mm]
> =
> [mm]\sum_{i=1}^{n}{\ln\Bigg(\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda}}\Bigg)\\[/mm]
> = [mm]\sum_{i=1}^{n}{\big(\ln(\lambda^{x_i}) - \ln(x_i!) + \ln(e^{-\lambda})\big)}\\[/mm]
>
> = [mm]\sum_{i=1}^{n}{\big(x_i\cdot\ln(\lambda) - \ln(x_i!) -\lambda\big)}\\[/mm]
>
> = [mm]\ln(\lambda)\cdot\sum_{i=1}^{n}{x_i}[/mm] -
> [mm]\sum_{i=1}^{n}{\ln(x_i!)}[/mm] - [mm]\sum_{i=1}^{n}{\lambda}\\[/mm]
> = [mm]\ln(\lambda)\cdot n\cdot\bar{x}[/mm] -
> [mm]\sum_{i=1}^{n}{\ln(x_i!)}[/mm] - [mm]n\cdot\lambda$[/mm]
>
> Notwendige Bedingung: [mm]\frac{\partial l}{\partial p} = 0[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial l}{\partial \lambda} &= \frac{1}{\lambda}\cdot n\cdot\bar{x} - n[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]\frac{1}{\lambda}\cdot n\cdot\bar{x} - n = 0[/mm]
>
> Wegen [mm]n \neq 0[/mm] und [mm]\lambda > 0[/mm]:
>
> [mm]$\frac{1}{\lambda}\cdot\bar{x}[/mm] - 1 = [mm]0\\[/mm]
> [mm] \frac{1}{\lambda}\cdot\bar{x}[/mm] = [mm]1\\[/mm]
> [mm] \bar{x}[/mm] = [mm]\lambda$[/mm]
>
> Hinreichende Bedingung: [mm]\frac{\partial^2 l}{\partial \lambda\partial \lambda} \neq 0[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial^2 l}{\partial \lambda\partial \lambda} = -\frac{1}{\lambda^2}\cdot n\cdot\bar{x}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und an der Stelle komme ich irgendwie nicht weiter, weil
> der Wert von [mm]\bar{x}[/mm] ja von einer konkreten Realisation der
> Stichprobe abhängt.
>
> Ups, die Frage hat sich erledigt: der Träger ist ja
> [mm]\mathbb{N}_0[/mm] :)
Richtig. Wegen [mm] \lambda>0 [/mm] ist dann [mm] -\frac{1}{\lambda^2}<0 [/mm] und wegen [mm] n\not=0 [/mm] folgt..
Gruß
DieAcht
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