Poincaré-Lemma - Beispiel < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:14 Do 01.11.2012 | | Autor: | drix |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei $\omega \in \Omega^k_{\infty} (O)$ mit $\omega = \sum_I \omega_I d x^I$.
Wir definieren $P: \Omega^k (O) \rightarrow \Omega^{k-1}(O)$ durch:
P(\omega )^{(k)}:= \sum_I \sum_{s=1}^k (-1)^{s-1} \left( \int_0^1 t^{k-1} \omega_I(tx) dt \right) x^{i_s} dx^{i_1} \land \dots \land \overset{\land}{dx^{i_s}} \land \dots \land dx^{i_k}$
Sei $\omega:~x \normalfont{d} y \land \normalfont{d}z + 2 y\normalfont{d} x \land \normalfont{d} z + z \normalfont{d}x \land \normalfont{d} y \in \Omega^2(\mathfrac{R}^3})$.
Also gilt:
$ P(\omega )$
$= \int_0^1 t(tx)dt\underset{k_1}{\underbrace{(ydz-zdy)}}+2 \int_0^1 t(ty)dt\underset{k_2}{\underbrace{(xdz-zdx)}}+\int_0^1 t(tz)dt\underset{k_3}{\underbrace{(xdy-ydx)}}$
$=\frac{1}{3}(xydz-xzdy)+\frac{2}{3}(xydz-yzdx)+\frac{1}{3} (xzdy-yzdx)$
$=xydz-yzdx$ |
Dieses Beispiel wurde uns in der Vorlesung gegeben. Die Schritte in der Gleichung sind mir alle klar. Was ich beim nachrechnen nicht verstehe ist, wie ich durch Einsetzen von $\omega$ in die allgemeine Definition von $P$ $k_1, k_2$ und $k_3$ entstehen.
Meiner Auffassung nach müsste doch jedes Integral in der Summe folgendermaßen entstehen (hier als Bsp das erste):
$\int_0^1 t(tx)dt (x (dy \land dz)) - \int_0^1 t(tx)dt (y (dx \land dz))= \int_0^1 t(tx)dt \underset{k_1'}{\underbrace{((x (dy \land dz)) - (y (dx \land dz)))}$
Wobei nun $k_1 = k_1'$ gelten müsste. Allerdings kann ich diese Gleichheit nicht sehen. Bin ich blind, oder habe ich beim Einsetzen einen Fehler gemacht?
Danke im Voraus!
drix
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:27 Fr 02.11.2012 | | Autor: | drix |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ok, ich habe meinen Fehler gefunden! Wen's interessiert:
$I$ ist ein Multiindex, sodass wir im ersten Fall $y = x^{i_1}$ und $z =x^{i_2}$ haben.
Somit ergibt sich sofort für das Beispiel aus der Frage:
$ \int_0^1 t(tx)dt (ydz)) - \int_0^1 t(tx)dt (z dy))= \int_0^1 t(tx)dt \underset{k_1'}{\underbrace{(ydz -zdy)} $
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