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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die k-te Picard-Iterierte der Differentialgleichung $y'=a(x)y, [mm] f(0)=y_0. [/mm] Dazu bezeichne A eine Stammfunktion von a auf einem Intervall I.
Beginnen Sie mit [mm] f_0(x)=y_0. [/mm] |
Hallo,
ich stecke da fest. Also die erste Iterierte ist nach der Formel
[mm] f_{k+1}(x)=y_0+\int_{0}^{x}a(t)f_k(t)dt=y_0+y_0(A(x)-A(0)).
[/mm]
Die zweite berechnet sich bei mir zu
[mm] f_2(x)=y_0+\int_{0}^{x}\left( a(t)y_0+a(t)y_0(A(t)-A(0)\right)dt
[/mm]
[mm] =y_0+y_0(A(x)-A(0))+y_0 \cdot \frac{1}{2}(A^2(x)-A^2(0))-y_0A(0)(A(x)-A(0)).
[/mm]
Je weiter ich jetzt rechne, desto mehr gemischte Terme in der Art des letzten von [mm] f_2 [/mm] kommen bei mir vor, sodass ich keine verallgemeinerte Darstellung finden kann.
Ich dachte mir, dass da wohl sowas rauskommen muss:
[mm] f_k(x)=y_0\sum_{i=0}^{k}\frac{A^i(x)-A^i(0)}{i!}.
[/mm]
Bin ich zu doof zum Rechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Mo 23.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
setz einfach deine vermutung in die iterarion ein, wenn du damit [mm] f_{k+1} [/mm] rauskriegst ist die richtig. (induktionsbeweis)
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Unk |
> Hallo
> setz einfach deine vermutung in die iterarion ein, wenn du
> damit [mm]f_{k+1}[/mm] rauskriegst ist die richtig.
> (induktionsbeweis)
> gruss leduart
Das habe ich schonmal gemacht und der induktionsschritt ging nicht auf, wäre ja auch komisch, wenn ich schon für [mm] f_2 [/mm] ein Ergebnis ausgerechnet habe, das nicht mit meiner Vermutung übereinstimmt.
Aber ich sehe nicht, wie dann die allgemeine Formel aussehen sollte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Mo 23.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab das kurz überschlagen, und es klappt.(keine Garantie!) rechne doch mal vor.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Unk |
> Hallo
> ich hab das kurz überschlagen, und es klappt.(keine
> Garantie!) rechne doch mal vor.
> Gruss leduart
Also bei mir klappt es nicht. Wie gesagt, man schaue sich nur mal mein [mm] f_2 [/mm] an. Wo ist da bereits der Fehler bzw. gibts einen?
Mein allgemeiner Versuch sieht dann so aus:
[mm] f_{k+1}(x)=y_0+\int_0^x a(t)\sum_{i=0}^{k}\frac{y_0}{i!}(A^i(t)-A^i(0))dt
[/mm]
[mm] =y_0+y_0\sum_{i=0}^{k}\int \frac{a(t)}{i!}A^i(t)dt-y_0\sum_{i=0}^{k}\int \frac{a(t)}{i!}A^i(0)dt
[/mm]
[mm] =y_0+y_0\sum_{i=0}^{k}\frac{A^i(x)-A^i(0)}{(i+1)!} [/mm] - [mm] y_0 \sum_{i=0}\frac{A^i(0)}{i!}(A(x)-A(0)).
[/mm]
Der gesamte letzte Term wäre jetzt zu viel.
Mich macht diese Aufgabe langsam verrückt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Mo 23.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
probier mal mit [mm] (A(x)-A(0)^i [/mm] in der Summe, so hatte ich gerechnet.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Unk |
> Hallo
> probier mal mit [mm](A(x)-A(0)^i[/mm] in der Summe, so hatte ich
> gerechnet.
> Gruss leduart
Oh man das sieht zwar schon besser aus, ist aber ziemlich viel Arbeit.
Kann man sich das irgendwie einfach machen, oder geht das nur über den binomischen Lehrsatz, da wird das nämlich alles ziemlich durcheinander.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Mo 23.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit deinem f:2 komm ich nicht zurecht.
ich benutze: [mm] ((A(x)-A(0))^{i+1})'=(i+1)*(A(x)-A(0))^i*a(x) [/mm] wegen A'=a
damit [mm] \integral_{0}^{x}{(A(x)-A(0))^i*a(x) dx}=1/(i+1)*(A(x)-A(0))^{i+1}
[/mm]
mit i=1 wird damit [mm] f2=y_0*[(A(x)-A(0))^0+(A(x)-A(0))^1 +1/2*(A(x)-A(0))^2]
[/mm]
und entsprechend läuft die Induktion
Gruss leduart
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