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| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR \times \IR^{n} \to \IR^{n} [/mm] ein zeitabhg. Vektorfeld, sodass ein [mm] L\in \IR [/mm] existiert mit:
||f(t,x)-f(t,y)|| [mm] \le [/mm] L||x-y|| für alle y,x [mm] \in \IR^{n}; [/mm] t [mm] \in \IR.
[/mm]
Zeige, dass es für jedes [mm] y_{0} \in \IR^{n} [/mm] eine stetig diff.bare Funktion Y: [mm] \IR \to \IR^{n} [/mm] gibt mit:
[mm] Y(0)=y_{0} [/mm] und Y'(t)=f(t,Y(t)) für alle t [mm] \in \IR [/mm] |
Hallo,
In der VL hatten wir einen Satz (Picard-Lindelöf) der ähnliches sagt.
Nach Recherche im Netz fand ich das ![[]](/images/popup.gif) hier.
Jedoch brauche ich im Link für die Zeit ein kompaktes Intervall. Das kommt ja mit [mm] \IR [/mm] nicht hin. Kann ich also überhaupt den Beweis so wie im Link führen?
Zweite Frage:
Soweit ist im Beweis alles nachvollziehbar, bis auf den Anfang. Speziell verstehe ich nicht, warum ||F(t,u(t))|| [mm] \le [/mm] M ist, für ein geeignetes M. Würde ich dies verstehen, ist die Stetigkeit auch kein Problem mehr.
Kann mir das jemand erklären, oder mir den entschiedenen Hinweis geben? Ich sehe es einfach nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Do 20.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm]\IR \times \IR^{n} \to \IR^{n}[/mm] ein zeitabhg.
> Vektorfeld, sodass ein [mm]L\in \IR[/mm] existiert mit:
>
> ||f(t,x)-f(t,y)|| [mm]\le[/mm] L||x-y|| für alle y,x [mm]\in \IR^{n};[/mm] t
> [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Zeige, dass es für jedes [mm]y_{0} \in \IR^{n}[/mm] eine stetig
> diff.bare Funktion Y: [mm]\IR \to \IR^{n}[/mm] gibt mit:
> [mm]Y(0)=y_{0}[/mm] und Y'(t)=f(t,Y(t)) für alle t [mm]\in \IR[/mm]
> Hallo,
> In der VL hatten wir einen Satz (Picard-Lindelöf) der
> ähnliches sagt.
>
> Nach Recherche im Netz fand ich das
> hier.
>
> Jedoch brauche ich im Link für die Zeit ein kompaktes
> Intervall. Das kommt ja mit [mm]\IR[/mm] nicht hin. Kann ich also
> überhaupt den Beweis so wie im Link führen?
Nein.
>
>
> Zweite Frage:
>
> Soweit ist im Beweis alles nachvollziehbar, bis auf den
> Anfang. Speziell verstehe ich nicht, warum ||F(t,u(t))||
> [mm]\le[/mm] M ist, für ein geeignetes M. Würde ich dies
> verstehen, ist die Stetigkeit auch kein Problem mehr.
>
> Kann mir das jemand erklären, oder mir den entschiedenen
> Hinweis geben? Ich sehe es einfach nicht.
Im Link steht:
[mm] \|F(t,u(t))\| \leq [/mm] M auf [a,b]
Da F und u stetige Funktionen sind , ist auch F(t,u(t)) stetig. Und damit ist diese Funktion auf dem kompakten Intervall beschränkt.
(Satz aus der VL (den Ihr bestimmt hattet): "Stetige Funktionen auf kompakten Mengen sind beschränkt")
Zu Deiner Aufgabe:
Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] $I_n:=[-n,n]$
[/mm]
1. Nach der Version des Satzes von Picard-Lindelöf, die Ihr in der VL hattet , gilt:
Das AWP $y'=f(t,y), ~~ [mm] y(0)=y_0$ [/mm] hat auf [mm] I_n [/mm] genau eine Lösung [mm] y_n.
[/mm]
2. So, nun betrachte das Intervall [mm] I_{n+1}. [/mm] Die auf [mm] I_{n+1} [/mm] eindeutig bestimmt Lösung [mm] y_{n+1} [/mm] des AWP, löst dieses AWP trivialerweise auch auf [mm] I_n.
[/mm]
Daher gilt: [mm] y_{n+1}=y_n [/mm] auf [mm] I_n
[/mm]
3. Definiere nun die Funktion $y: [mm] \IR \to \IR^n$ [/mm] durch
[mm] $y(x):=y_n(x)$ [/mm] , falls $x [mm] \in I_n$
[/mm]
Überzeuge Dich von:
a) y ist auf [mm] \IR [/mm] wohldefiniert.
b) y ist auf [mm] \IR [/mm] differenzierbar
c) y löst das AWP auf [mm] \IR.
[/mm]
FRED
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Vielen Dank.
Das war mal (wieder) eine richtig gute Erklärung!
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