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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Di 19.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hi ihr!
Ich versuche gerade ein Beispiel zu den Pfaffschen Formen nachzuvollziehen, nämlich die (oder eine?) Windungsform.
Also, gegeben ist:
W: [mm] \IR^2\backslash\{0\}\to\IR^2
[/mm]
[mm] (x_1,x_2)\mapsto\bruch{1}{||x||^2}(-x_2,x_1)
[/mm]
[mm] \omega=\bruch{1}{x_1^2+x_2^2}(-x_2\;dx_1+x_1\;dx_2)
[/mm]
Sei [mm] \gamma:[0,2\pi]\to\IR^2
[/mm]
[mm] t\mapsto(r\;\cos{t}, r\sin{t})
[/mm]
Nun haben wir aufgeschrieben: [mm] \integral_{\gamma}\omega=2\pi [/mm] und das möchte ich gerne mal nachvollziehen.
Bisher bin ich so weit:
[mm] \integral_{\gamma}{\omega} [/mm] = [mm] \integral_0^{2\pi}{\omega(\gamma(t))\gamma'(t)\;dt} [/mm]
So, nun habe ich
[mm] \omega(\gamma(t)) [/mm] = [mm] \omega(r\cos{t}, r\sin{t}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{r^2}(-r\sin{t}\d?+r\cos{t}\d?)
[/mm]
und hier weiß ich jetzt nicht so ganz, was da statt der Fragezeichen hin muss. Eigentlich stände da ja [mm] -x_2\dx_1 [/mm] im ersten Fall, aber ich habe ja hier keine [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2, [/mm] sondern nur [mm] r\cos{t} [/mm] und [mm] r\sin{t}, [/mm] aber ich kann doch schlecht schreiben:
[mm] -r\sin{t}\;d\cos{t} [/mm] oder doch?
Also, ich glaube, das ist hier erstmal mein Problem, wenn ich das habe, komme ich hoffentlich noch alleine weiter.
Viele Grüße
Bastiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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Hallo Bastiane,
einfach die Parameterform in die 1-Form einsetzen:
[mm]
\begin{gathered}
dx_{1} \; = \; - r\;\sin \;t\;dt \hfill \\
dx_{2} \; = \;r\;\cos \;t\;dt \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Dann erhältst Du folgendes:
[mm]
\begin{gathered}
\int\limits_\omega {\frac{1}
{{x_{1}^{2} \; + \;x_{2}^{2} }}\;\left( { - x_{2} \;dx_{1} \; + \;x_{1} \;dx_{2} } \right)} \; = \hfill \\
\int\limits_0^{2\pi } {\frac{1}
{{r^{2} }}\;\left( { - r\;\sin \;t} \right)} \;\left( { - r\;\sin \;t} \right)\;dt\; + \;\left( {r\;\cos \;t} \right)\;\left( {r\;\cos \;t} \right)\;dt = \hfill \\
\int\limits_{0}^{2\pi } {\frac{1}
{{r^{2} }}\;r^{2} \;dt\; = \;\int\limits_{0}^{2\pi } {dt} } \; = \;2\pi \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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