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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Di 13.01.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen.
Ich habe eine kurze Frage:
Kann es sein, dass bei einer Permutationsmatrix die Inverse und die Transponierte und auch die Permutationsmatrix selbst immer die gleiche Matrix sind?
Hier mal ein selbst ausgedachtes Beispiel:
[mm] P=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }
[/mm]
[mm] P^{-1}=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }
[/mm]
[mm] P^T=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Also [mm] P=P^{-1}=P^T.
[/mm]
Gilt das immer?
LG, Nadine
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Hallo Pacapear,
> Hallo zusammen.
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> Ich habe eine kurze Frage:
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> Kann es sein, dass bei einer Permutationsmatrix die Inverse
> und die Transponierte und auch die Permutationsmatrix
> selbst immer die gleiche Matrix sind?
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> Hier mal ein selbst ausgedachtes Beispiel:
>
> [mm]P=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }[/mm]
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> [mm]P^{-1}=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }[/mm]
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> [mm]P^T=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }[/mm]
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> Also [mm]P=P^{-1}=P^T.[/mm]
>
> Gilt das immer?
Ja.
Die Matrix P ist ja orthogonal,
darüber hinaus haben ihre Spaltenvektoren den Betrag 1, d.h. es gilt
[mm]P*P^{T}=P^{T}*P=\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &1}[/mm]
Da dies aber auch die Bedingung für die Inverse ist, folgt [mm]P^{-1}=P^{T}[/mm]
Wenn man zwei Spalten i und j vertauscht,
so steht an der Stelle [mm] p_{ij} [/mm] und [mm] p_{ji} [/mm] eine 1,
was dann auch für die Transponierte gilt.
Demnach ist [mm]P=P^{T}[/mm]
Daher gilt: [mm]P=P^{T}=P^{-1}[/mm]
>
> LG, Nadine
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo MathePower,
vielen Dank!
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