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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die symmetrische Gruppe [mm] S_n [/mm] durch die Elemente
a) (1,2),(1,3),...(1,n),
b) (1,2),(1,2,3,...,n)
erzeugt wird.
Hierbei bezeichnet (a,b,c) einen sogenannten Zyklus, d.h. die Permutation, die a in b, b in c und c in a realisiert und den Rest unverändert lässt. |
Hallo,
ich muss diese Aufgabe in Algebra lösen und habe leider keinerlei Ahnung, wie ich da rangehen kann. Hab mir überlegt, dass jede Permutation als endliches Produkt von Transpositionen (Zyklen) dargestellt werden kann. Aber wie krieg ich raus, welche Transpositionen das sein müssen? Ein Freund hat mir den Tipp gegeben, dass (i,j) = (1,i)(1,j)(1,i) ist. Dann wäre Aufgabe a) ja trivial. Mir erscheint das zwar irgendwie logisch, aber ich weiß nicht, wie ich das beweisen könnte.
Im Voraus vielen Dank für eure Hilfe!
Mit freundlichen Grüßen,
Manuela
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Hallo Manuela,
> Zeigen Sie, dass die symmetrische Gruppe [mm]S_n[/mm] durch die
> Elemente
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> a) (1,2),(1,3),...(1,n),
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> b) (1,2),(1,2,3,...,n)
>
> erzeugt wird.
> Hierbei bezeichnet (a,b,c) einen sogenannten Zyklus, d.h.
> die Permutation, die a in b, b in c und c in a realisiert
> und den Rest unverändert lässt.
> Hallo,
>
> ich muss diese Aufgabe in Algebra lösen und habe leider
> keinerlei Ahnung, wie ich da rangehen kann. Hab mir
> überlegt, dass jede Permutation als endliches Produkt von
> Transpositionen (Zyklen) dargestellt werden kann. Aber wie
> krieg ich raus, welche Transpositionen das sein müssen? Ein
> Freund hat mir den Tipp gegeben, dass (i,j) =
> (1,i)(1,j)(1,i) ist. Dann wäre Aufgabe a) ja trivial. Mir
> erscheint das zwar irgendwie logisch, aber ich weiß nicht,
> wie ich das beweisen könnte.
Naja, bezeichne die Permutation $(1,i)(1,j)(1,i) [mm] \in S_n$ [/mm] z.B. mit $t$. Und dann rechnest Du $t(k)$ aus für die Fälle
- k=1;
- $k [mm] \in [/mm] {1, [mm] \ldots, [/mm] n} \ {1,i,j}$;
- $k=i$ bzw. $k=j$.
Welche Transpositionen Du konkret benötigst, hängt ja von der gegebenen Permutation ab; aber das brauchst Du für Teil a) ja gar nicht: Die Formulierung "wird erzeugt" bedeutet in diesem Fall ja nur, daß jede Permutation sich als Produkt eben dieser Transpositionen darstellen läßt (wie auch immer das konkret aussieht.)
Hth
zahlenspieler
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Hallo Zahlenspieler,
vielen Dank für deine Antwort. Aufgabe a) habe ich jetzt hinbekommen  Nur Aufgabe b) ist noch nicht wirklich schlüssig. Man kann zwar den Zyklus (1,2,3,...,n) durch (n-1,n)...(1,2) darstellen (glaube ich zumindest), aber das heißt doch noch nicht automatisch, dass damit alle Permutationen erfasst sind, oder? Denn dann würde man ja das andere Element (1,2) nicht mehr benötigen..
Manuela
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Hallo Manuela,
hier meine Lösungsidee zu Teil b): Es reicht zu zeigen, daß die Transpositionen $(1,2), (2,3), [mm] \ldots, [/mm] (n-1, n)$ [mm] $S_n$ [/mm] erzeugen. Für $1<i<n$ zeigst Du dann noch: $(1,2,3, [mm] \ldots, [/mm] n)(i-1, i)(1,2,3, [mm] \ldots, n)^{-1}=(i, [/mm] i+1)$ und bist fertig .
Mfg
zahlenspieler
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