Permutation und Kombination < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich kenne die Bedeutung der Fakultät, es gibt n! Möglichkeiten n verschiedene Objekte anzuordnen. Der Beweis, dass man zu Erst n Objekte, danach (n-1) Objekte, ... auswählen kann, hilft mir beim Verstehen bei dem Wieso nicht wirklich.
Das Gleiche beim Binomialkoeffizenten, [mm] \vektor{a \\ b}. [/mm] Es gibt [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] = [mm] \bruch{a(a-1) \cdots (a-b+1)}{b!} [/mm] Möglichkeiten aus a Objekten b Objekte auszuwählen. Wenn ich die Permutation verstehen würde, dann wäre mir der obere Teil des Bruches klar. Aber dann die Notwendigkeit durch b! zu dividieren verstehe ich nicht. Auch die Begründung, dass uns von den a(a-1) [mm] \cdots [/mm] (a-b+1) Möglichkeiten es nicht auf die Reihenfolge ankommt, verstehe ich nicht. Wieso man dann durch b! dividieren muss, um diese abzuziehen.
Kann mir es jemand vielleicht anschaulich darstellen?
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Stelle dir vor, dass 5 Personen in einen Raum mit 5 Stühlen kommen, auf die sie sich setzen können. Sie können die Plätze beliebig untereinander tauschen. Nun probieren sie ALLE Möglichkeiten durch, und sie machen von jeder Möglichkeit ein Foto. Wie viele verschiedene Fotos gibt es?
Es hat nun keinen Zweck, wahllos herumzutauschen und Fotos zu machen, denn dann gibt es sicher Anordnungen, die mehrfach vorkommen und andere, die man übersehen hat. Also gehen wir systematisch vor.
Die Personen heißen A, B, C, D und E, die Plätze 1, 2, 3, 4 und 5.
Wir stellen nun 4 Stühle Nr. 2, 3, 4 und 5 nebeneinander auf, wobei wir zwischen ihnen eine Lücke für einen weiteren Stuhl lassen.
A und Stuhl 1 scheiden zunächst aus.
B, C, D und E gehen nun alle Vertauschungen systematisch durch und machen davon [mm] P_4 [/mm] (wegen 4 Personen) Fotos.
Wir machen ein Einzelfoto von A auf Stuhl 1.
Nun montieren wir das Einzelfoto von A in alle Fotos, indem wir A links von Stuhl 2 setzen. Das gibt [mm] P_4 [/mm] Fotos.
Jetzt nehmen wir nochmal die [mm] P_4 [/mm] Ausgangsfotos und setzen A in die Lücke zwischen Stuhl 2 und 3, dann nochmal das Ganze mit A zwischen 3 und 4, dann zwischen 4 und 5 und dann rechts von Stuhl 5.
Wir erhalten damit [mm] 5*P_4 [/mm] Fotos, auf denen die 5 Personen in verschiedenen Reihenfolgen auftauchen (nur die Lücken sind verräterisch, aber die können wir ja mit einem geeigneten Bildbearbeitungsprogramm auch noch alle schließen).
Fazit: [mm] P_5=5*P_4
[/mm]
Leider kennen wir [mm] P_4 [/mm] nicht. Aber das überlegen wir uns analog: Wir machen [mm] P_3 [/mm] Bilder von allen Vertauschungen mit 3 Personen und kopieren in alle diese Bilder die 4. Person mal links vom ersten Stuhl, dann rechts neben dem 1. Stuhl, dann rechts neben dem 2. und dann rechts neben dem 3. Stuhl. Wir erhalten dann 4 mal so viele Bilder wie bei nur 3 Personen:
[mm] P_4=4*P_3.
[/mm]
So geht es immer weiter, und man erhält zum Schluss:
[mm] P_5=5*4*3*2*1=120 [/mm] Fotos.
Oder verallgemeinert= [mm] P_n=1*2*3...*n [/mm] =n!
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Bei den Binomialkoeffizienten geht es darum, z.B. aus einer Gruppe von 6 Personen 2 auszuwählen.
Wenn die Reihenfolge dabei wichtig ist (z.B. Vorsitzender/Stellvertreter), hast du für den ersten 6 Möglichkeiten und dann für den zweiten noch 5, macht 6*5=30 Möglichkeiten.
Wenn die Reihenfolge aber keine Rolle spielt (z.B. 2 Personen sollen abwaschen), ist z.B. die Möglichkeit B und D gleichwertig (und hier also "identisch") mit D und B, also gibt es eigentlich nur halb so viele Möglichkeiten, also 15.
Nehmen wir folgendes Beispiel: Ein Boot mit 15 Personen sinkt, das Rettungsboot fasst 6 Personen, auf wie viele Weisen kann man 6 Personen für das Rettungsboot aussuchen.
Für den 1. Platz hast du 15 Mgl., für den 2. Platz 14 (eine ist ja schon weg), dann 13 ... und zuletzt 10 Mgl., also insgesamt 15*14*13...*10 Mgl.
Diese Rechnung unterscheidet aber, ob z.B. zuerst A, dann B und dann C ausgewählt werden oder das Ganze mit C, A, B endet. Das spielt aber hier keine Rolle, hauptsache:gerettet!
JEDE 6-er-Gruppe kannst du nun in 6! verschiedenen Reihenfolgen zusammenbekommen, das heißt: Du musst die Zahl der berechneten Gruppen wieder durch 6! teilen, damit jede Gruppe nur einmal gezählt wird. Somit gibt es
[mm] \bruch{15*14*...*10}{6!}=\bruch{15*14*...*10}{6!}*\bruch{9*8*7...*1}{9!}=\bruch{15!}{6!9!} [/mm] Möglichkeiten.
Interessant ist noch: Wieviele Mgl. gibt es, 9 Personen aus 15 auszuwählen? Ebenfalls [mm] \bruch{15!}{9!6!} [/mm] Möglichkeiten. Wieso? Weil es keine Rolle spielt, ob ich die 6 Personen für die Rettungsboote aussuche oder die 9 Personen, die nicht in die Rettungsboote dürfen.
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