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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Do 11.09.2014 | | Autor: | soulflow |
| Aufgabe | Die Ordnung einer zyklischen Permutation [mm]\varphi = (a_1 ... a_k)[/mm] ist k. Seien [mm] \sigma_1, ..., \sigma_b \in S_n ( n \ge 2, b \ge 1)[/mm] zyklische Permutationen mit den Ordnungen [mm] k_1, ..., k_b[/mm] und sei [mm] \sigma = \sigma_1 \circ ... \circ \sigma_b [/mm].
Leite eine Formel her, die sign([mm]\sigma[/mm]) mit Hilfe der Ordnungen [mm] k_1, ..., k_b[/mm] ausdrückt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
sitze an dieser Aufgabe nun seit Stunden und weis echt nicht mehr weiter. Mein Ansatz war, dass eine Permutation [mm]\sigma[/mm] der Ordnung b in b-1 Transpositionen zerlegt werden kann. Also in die Form:
[mm]\sigma_b = (i_1 i_2) \circ ... \circ (i_{b-1} i_b)[/mm]
Für eine Transposition [mm] (i_1 i_2)[/mm] ist sign( [mm] (i_1 i_2)[/mm] ) = -1
Also für eine Permutation [mm]\sigma_b[/mm] der Ordnung b ist
sign([mm] \sigma_b [/mm]) = [mm](-1)^{b-1}[/mm]
Aber wie soll ich von hier aus weiter machen? Ich weiß ja nicht wie viel Permutationen [mm]\sigma[/mm] aus [mm]S_n[/mm] verkettet werden und welche Ordnungen diese im Einzelnen haben. Hoffe mir kann jemand helfen, ohne gleich die Lösung zu verraten.
Vielen Dank im Vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:26 Do 11.09.2014 | | Autor: | hippias |
> Die Ordnung einer zyklischen Permutation [mm]\varphi = (a_1 ... a_k)[/mm]
> ist k. Seien [mm]\sigma_1, ..., \sigma_b \in S_n ( n \ge 2, b \ge 1)[/mm]
> zyklische Permutationen mit den Ordnungen [mm]k_1, ..., k_b[/mm] und
> sei [mm]\sigma = \sigma_1 \circ ... \circ \sigma_b [/mm].
>
> Leite eine Formel her, die sign([mm]\sigma[/mm]) mit Hilfe der
> Ordnungen [mm]k_1, ..., k_b[/mm] ausdrückt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
>
> sitze an dieser Aufgabe nun seit Stunden und weis echt
> nicht mehr weiter. Mein Ansatz war, dass eine Permutation
> [mm]\sigma[/mm] der Ordnung b in b-1 Transpositionen zerlegt werden
> kann. Also in die Form:
>
> [mm]\sigma_b = (i_1 i_2) \circ ... \circ (i_{b-1} i_b)[/mm]
> Für
> eine Transposition [mm](i_1 i_2)[/mm] ist sign( [mm](i_1 i_2)[/mm] ) = -1
> Also für eine Permutation [mm]\sigma_b[/mm] der Ordnung b ist
> sign([mm] \sigma_b [/mm]) = [mm](-1)^{b-1}[/mm]
>
> Aber wie soll ich von hier aus weiter machen? Ich weiß ja
> nicht wie viel Permutationen [mm]\sigma[/mm] aus [mm]S_n[/mm] verkettet
> werden und welche Ordnungen diese im Einzelnen haben.
Na eben doch: es sind $b$ Permutationen, die verkettet werden und die $i$-te hat die Ordnung [mm] $k_{i}$. [/mm] Also kannst Du auf jeden Faktor Deine obige richtige Ueberlegung anwenden. Beachte fuer das Signum von [mm] $\sigma$, [/mm] dass die Signumfunktion ein Homomorphismus ist.
> Hoffe mir kann jemand helfen, ohne gleich die Lösung zu
> verraten.
>
> Vielen Dank im Vorraus.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:45 Fr 12.09.2014 | | Autor: | soulflow |
Vielen Dank für deine Antwort. Das die Signumfunktion ein Homomorphismus, habe ich völlig außer acht gelassen.
Davon ausgehend wäre sign([mm]\sigma [/mm]) = sign([mm] \sigma_1[/mm])* ...* sign([mm]\sigma_b[/mm])
Also : sign([mm]\sigma [/mm]) = [mm](-1)^{k_1 -1} * ... * (-1)^{k_b -1}[/mm]
Daraus folgt :sign([mm] \sigma[/mm]) [mm]= [/mm][mm] \produkt_{i=1}^{b} (-1)^{k_i -1}[/mm]
Stimmt das so ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Fr 12.09.2014 | | Autor: | hippias |
Sieht gut aus. Man koennte noch genauer untersuchen, wann das Signum $=1$ ist: [mm] $sgn(\sigma)=1\iff$ [/mm] $b$ und [mm] $k_{i}$ $\ldots$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Fr 12.09.2014 | | Autor: | soulflow |
Vielen Dank für dein Hilfe! Ich habe eine weitere Aufgabe bei der ich nicht weiß, wie Anfangen soll. Kann ich die hier schreiben oder soll ich eine neue Diskussion öffnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Fr 12.09.2014 | | Autor: | Valerie20 |
> Vielen Dank für dein Hilfe! Ich habe eine weitere Aufgabe
> bei der ich nicht weiß, wie Anfangen soll. Kann ich die
> hier schreiben oder soll ich eine neue Diskussion öffnen?
Beginne einen neuen Strang für die neue Aufgabe. Ansonten wird das unübersichtlich.
Valerie
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