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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Sa 26.03.2005 | | Autor: | mtsmts |
Hallo!
mein Problem stammt ursprünglich von der MAO-Aufgabe, die ich lösen konnte, doch die allgemeine Fassung des Problems hat mich zum nachdenken bewegt:
Man hat Zahlen
[mm] 3^{n}-1 [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm]
Nun ist die Frage welches das minimale n ist bei dem sich [mm] 3^{n}-1 [/mm] durch eine Zahl k teilen lässt. Für spezielle k lässt sich das durchprobieren, aber gibt es eine allgemeinte Theorie, mit der ich das Ergebnis vorraussagen kann, wie das für z.B. k=1234567 aussehen würde?
(hat man die kleinste n gefunden so lässt sich logischweise auch
[mm] 3^{2n}-1
[/mm]
[mm] 3^{3n}-1
[/mm]
[mm] 3^{4n}-1
[/mm]
....
durch k teilen)
Danke im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:35 Do 31.03.2005 | | Autor: | Hexe |
Also ich hab mich mal kurz damit beschäftigt aber ich glaube nicht das man da vorraussagen treffen kann. Man seh nur 7, 8 und 9 an. Bei 7 ist es [mm] 3^6-1 [/mm] also 14 mal sieben bei 8 [mm] 3^2-1 [/mm] also einmal 8 und bei 9 gehts gar nicht. Das kann ich vohersagen dass für i*3=k
[mm] n=\infty [/mm] ist aber sonst fällt mir dazu leider nichts ein.
Schöne Grüße
Hexe
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Hallo,
gegebenfalls hilft Dir der Satz von Euler weiter:
[mm]ggt(c,\;k)\; = \;1\; \Rightarrow \;c^{\varphi \left( k \right)} \; \equiv \;1\;\left( k \right)[/mm]
Die Funktion [mm]\varphi(k)[/mm] , die die Anzahl der teilerfremden Zahlen von k angibt, ist wie folgt definiert:
Für eine Primzahlpotenz gilt:
[mm]\varphi \left( {p^\alpha } \right)\; = \;p^{\alpha \; - \;1} \;\left( {p\; - \;1} \right)[/mm]
Für zwei teilerfremde Zahlen a und b gilt:
[mm]\varphi \left( {a,\;b} \right)\; = \;\varphi \left( a \right)\;\varphi \left( b \right)[/mm]
Generalvoraussetzung ist, daß die Zahlen c und k teilerfremd sind.
Dann kannst Du die Primfaktorzerlegung von k bestimmen. Und hieraus wird dann die Anzahl der teilfremden Zahlen ermittelt.
Gruß
MathePower
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