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Periode von Funktion < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Periode von Funktion: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 So 11.06.2006
Autor: Lisalou

Aufgabe
Warum hat die Funktion f(x)=cosx+sin x/n die Periode 2npi?

Wie kann ich das rechnerisch zeigen? Könnt ihr mir das schrittweise deutlich erklären? Wäre voll nett!
gruß die Lisa

        
Bezug
Periode von Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 So 11.06.2006
Autor: Zwerglein

Hi, Lisalou,

tja: Ich schon wieder!

Also: f(x) = cos(x) + [mm] sin(\bruch{x}{n}). [/mm]
(n soll ja sicher eine natürliche Zahl sein, sonst geht's nicht!)

p = [mm] 2n\pi, [/mm] da:

cos(x + [mm] 2n\pi) [/mm] = cos(x) wegen der (bekannten) Periodizität der Kosinusfunktion.

[mm] sin(\bruch{x+2n\pi}{n}) [/mm]

= [mm] sin(\bruch{x}{n}+\bruch{2n\pi}{n}) [/mm]

= [mm] sin(\bruch{x}{n}+2\pi) [/mm]

= [mm] sin(\bruch{x}{n}) [/mm]   (letzter Schritt wegen der Periode der Sinusfunktion!)

Zusammen ergibt das:

cos(x + [mm] 2n\pi) [/mm] + [mm] sin(\bruch{x+2n\pi}{n}) [/mm] = cos(x) + [mm] sin(\bruch{x}{n}) [/mm]

mfG!
Zwerglein

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