Periode, Zahlen n^n < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Di 12.12.2006 | | Autor: | Mikke |
Hallo zusammen!
Hoffe ihr könnt mir hier helfen:
Ich soll zeigen, dass die Folge der Endziffern
der Zahlen [mm] n^{n} [/mm] periodisch ist. Hier muss also [mm] n^{n}\equiva_{n} [/mm] mod 10 mit [mm] 0\lea_{n}\le9, [/mm] jetzt ist irgendwie die Folge [mm] a_{1},a_{2},... [/mm] zu untersuchen.
Aber weiß gar nicht wie, habe keine Ahnung.
Hoffe wer von euch kann mir hier zeigen wie ich die Aufgabe löse.
Danke schon mal
LG Mikke
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Es genügt nur Endziffern zu betrachten.
Es ist [mm] 1^1, [/mm] 1^11, 1^21, usw stets = 1.
Es ist [mm] 2^2=4, 2^12\equiv6, 2^22\equiv4 [/mm] usw. Also hat die Periode vorerst einmal die Länge 20.
Es ist [mm] 3^3\equiv7, 3^13\equiv3, 3^23\equiv7 [/mm] usw. Periode bleibt bei 20.
Es ist [mm] 4^4\equiv6 [/mm] usw.
Es ist [mm] 5^5\equiv5 [/mm] usw.
Es ist [mm] 6^6\equiv6 [/mm] usw.
Es ist [mm] 7^7\equiv3, 7^17\equiv7, 7^27\equiv3 [/mm] usw.
Es ist [mm] 8^8\equiv6, 8^18\equiv2, 8^28\equiv4, 8^38\equiv8, 8^48\equiv6. [/mm] Periode also 40.
Es ist [mm] 9^9\equiv9 [/mm] usw.
Es ist [mm] 0^10\equiv0 [/mm] usw.
Diese Überlegungen legen nahe, dass [mm] n^n [/mm] periodisch mit Länge 40 ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Mikke |
Okay ist mir jetzt doch alles so weit klar, aber wie kann ich zeigen dass das bei den einzelnen Zahlen 0,...,9 periodisch verläuft.
also zum beispiel [mm] 3^{3}\equiv7, 3^{13}\equiv3, 3^{23}\equiv7, 3^{33}\equiv3.
[/mm]
und wieso ist bei den zahlen 1,...9 [mm] =a_{i}die [/mm] Endziffer von
[mm] a_{i}^{n} [/mm] gleich der endziffer von
[mm] (a_{i}+ [/mm] vielfaches von [mm] 10)^{n}.
[/mm]
danke schon mal Mikke
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Schreibe n=10*m+e, wobei e die Endziffer von n sei.
Dann gilt:
[mm] n^n [/mm] = [mm] (10*m+e)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*(10*m)^{k}*e^{n-k} [/mm] = [mm] e^n [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}*(10*m)^{k}*e^{n-k} [/mm] = [mm] e^n [/mm] + [mm] 10*m*\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}*(10*m)^{k-1}*e^{n-k} \equiv e^n [/mm] (mod 10)
Schreibe n=40*a+b, wobei [mm] 0\leb\le39 [/mm] gelte. Dann gilt:
[mm] n^n \equiv e^n [/mm] (mod 10), siehe oben.
[mm] e^n [/mm] = [mm] e^{40*a+b} \equiv e^b [/mm] (mod 10), nach gestriger Argumentation.
Insbesondere folgt:
[mm] (n+40)^{n+40} \equiv e^b \equiv n^n [/mm] (mod 10) für alle n,
denn n+40 = 10*(m+4)+e und n+40 = 40*(a+1)+b.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:56 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Mikke |
Danke schon mal. Kannst du mir denn bitte noch einmal die genauen Zusammenhänge erklären, warum denn aus diesen Überlegungen "folgt" das [mm] n^n [/mm] periodisch ist und die periode 40 ist?
bis dann mikke
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Die Periode ist wohl eher 20 und nicht 40. Das legt zumindest Ausporbieren mit Maple nah.
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