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Hallo allerseits,
durch Gruppenkohomologie bin ich auf die folgende Fragestellung gestossen:
Gibt es endliche Gruppen, sodass jede Untergruppe perfekt ist?
Und wenn nein, kann man das irgendwie einfach einsehen?
Ich komme darauf wie folgt: Es seien eine endliche Gruppe $ G $ und ein $ G - $-Modul $ A $ gegeben, sodass
$ [mm] H^{1}( [/mm] U, A ) = [mm] H^{2} [/mm] ( U, A ) = 0 $
und $ [mm] H^{3} [/mm] ( U, A ) [mm] \cong \IZ [/mm] / |U| [mm] \IZ [/mm] $
fuer alle Untergruppen $ U $ von $ G $ ist. Nach dem verallgemeinerten Satz von Tate ist dann die Kohomologie von $ A $ die Kohomologie von [mm] \IZ [/mm] um 3 verschoben. Insbesondere ist dann $ [mm] H^{-2} [/mm] ( U , [mm] \IZ [/mm] ) = [mm] U^{ab} [/mm] = 0 $ fuer alle Untergruppen. Also ist jede Untergruppe perfekt. Kann das sein?
LG
Salamence
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Missverstehe ich etwas, oder betrachtet man einfach eine von einem nichttrivialen Element erzeugte Untergruppe, um zu sehen, dass das nicht gehen kann?
Du meinst wohl etwas anderes mit "perfekt" als "triviale Abelisierung".
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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