Pegelgeschwindigkeit berechnen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Di 25.12.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo, Leute!
Ich muss bald mal wem helfen eine längerfristige Aufgabe zu lösen. Dabei soll man die Pegelgeschwindigkeit messen, wenn man mit konstanter Geschwindigkeit z.B. Wasser in eine Flasche füllt (die Form ist mir leider nicht bekannt, deshalb wird das hier erstmal ziemlich theoretisch ablaufen).
Aber ich setze mal voraus, dass es sich um einen Rotatonskörper handelt.
Ich denke, dass ich einen Ansatz habe, mit dem man die Pegelgeschwindigkeit bei zylinderförmigen- und kegelförmigen Flachen berechnen könnte, aber bei anderen würde ich keine schöne Funktion mehr erhalten, die mir die Pegelgeschwindigkeit zu einer bestimmten Zeit angibt.
Durchführungsskizze für Kegel (weil man da nicht so eine langweilige, konstante Funktion rauskiegt ;)):
(Kegelmaße):
h=100cm
r=10cm
[mm] V=\bruch{10000}{3}*\pi
[/mm]
Das heißt, dass die Funktionsgleichung der Geraden, die bei Rotation um die x-Achse den Zylinder bildet, [mm] y=\bruch{1}{10}x [/mm] wäre.
(Zuflussgeschwindigkeit): [mm] v=1\bruch{l}{s}=1000\bruch{cm³}{s}
[/mm]
Gut, ich weiß also, dass jede Sekunde 1000cm³ in den Kegel fließen (der mit der Spitze nach unten zeigt).
Da der Kegel nach oben hin breiter wird, steigt der Pegel langsamer, je voller der Kegel wird.
Die Pegelgeschwindigkeit würde ich dann mal als [mm] p(h)=\bruch{\Delta h}{\Delta t} [/mm] festsetzen, wobei [mm] \Delta [/mm] t immer eine Sekunde ist.
Das heißt, [mm] p(h)=[\Delta [/mm] h] [mm] \bruch{cm}{s}.
[/mm]
Dann habe ich das Rotationsvolumen von der Funktion von a bis b berechnet (wobei a,b>0 und a,b<100)
Man kann sich ja nun den Kegel in volumengleiche Teile aufspalten, wobei die Höhe dieser volumengleichen Teile immer weiter abnimmt. Das Volumen setze ich auf 1000cm³ fest, also gerade das Volumen, das pro Sekunde in den Zylinder fließt.
Wenn man das nun mal nachrechnen will, dann kommt man darauf, dass nach einer Sekunde der Pegel bei ca. [mm] h_1=45,7cm [/mm] steht.
Nach einer weiteren Sekunde bei [mm] h_2=57,59cm.
[/mm]
(Erklärung dafür: [mm] \pi*\integral_{0}^{h_1}{\bruch{1}{100}x² dx}=1000, h_1=..., [/mm]
[mm] \pi*\integral_{h_1}^{h_2}{\bruch{1}{100}x² dx}=1000, h_2=...).
[/mm]
Also habe ich mir überlegt, wie man h allgemein berechnen könnte. Habe ich mein h, so habe ich meine Pegelgeschwindigkeit.
Also:
[mm] \pi*\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{100}x² dx}=1000
[/mm]
So erhält man eine Gleichung, in der a und b enthalten sind. Das h(a,b)=b-a ist, kann man nun eine Gleichung für h angeben!
Wenn man das eben erwähnte Integral auflöst, kann man die entstandene Gleichung nach b umstellen und wie in h(a,b)=b-a einsetzen. So hat man h in Abhängigkeit der unteren Grenze a raus, und damit auch p(h).
Tut man das so kommt man auf [mm] b=\wurzel[3]{\bruch{\pi*a³+300000}{\pi}}
[/mm]
Und auf [mm] h(a)=\wurzel[3]{\bruch{\pi*a³+300000}{\pi}}-a=p(h).
[/mm]
Recht umständlich, und ich bin auch nicht sicher, ob das 100%ig stimmt.
Vom Grafen her sieht es gut aus, da er für a>0 streng monoton fällt, wie vorhergesagt.
Außerdem geht der Graf für [mm] a->\infty [/mm] gegen 0, was auch mit dem Sachverhalt übereinstimmt, da der Pegel ja immer langsamer steigt und damit auch die Pegelgeschwindigkeit sinkt.
Schön und gut, selbst wenn das stimmen sollte: Es ist in der Form für Funktionen höheren Grades nicht anwendbar, da man nicht mehr so explizit nach b umstellen könnte (außer vielleicht in irgendwelchen Sonderfällen, die mir jetzt nicht einfallen :P).
Drum wollte ich fragen, was ihr dazu denkt und ob ihr eine einfachere Möglichkeit kennt die Pegelgeschwindigkeit zu berechnen.
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Di 25.12.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Teufel und frohe Weihnacht!
Ich würde diese Aufgabe gleich etwas allgemeiner angehen. Das erspart das mühsame Rechnen 
Sei q(h) der Querschnitt der Flasche in Abhängigkeit vom Pegelstand. Dann gilt offenbar für die Pegelgeschwindigkeit v(h) in Abhängigkeit von der Höhe:
v(h) * q(h) = Zulaufrate in [Volumen / Zeit]
Es ist also sehr leicht, bei gegebener konstanter Zulaufrate eine Funktion v anzugeben, die die Pegelgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Höhe des Pegelstandes beschreibt. Ich nehme an, du möchtest aber gerne die Pegelgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit haben. Das ist etwas schwieriger:
Betrachten wir also in obiger Funktionsgleichung (die wir zuvor nach v umgeformt haben) v und h nunmehr als Funktionen in Abhängigkeit von t. Wir können dann v(t) durch h'(t) ersetzen und erhalten eine Differenzialgleichung zur Bestimmung der Funktion h.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Di 25.12.2007 | | Autor: | Teufel |
So, danke für die Antwort erstmal und dir auch frohe Weihnachten ;)
"Sei q(h) der Querschnitt der Flasche in Abhängigkeit vom Pegelstand. Dann gilt offenbar für die Pegelgeschwindigkeit v(h) in Abhängigkeit von der Höhe:
v(h) * q(h) = Zulaufrate in [Volumen / Zeit] "
Das kann ich leider nicht so nachvollziehen...
Also q(h) ist dann sicher die Fläche des Querschnitts und hat dann die Form [mm] q(h)=\pi*f(h)², [/mm] wenn f(x) die Randfunktion beschreibt, oder?
Aber für "v(h)*q(h)=Zulaufrate in [Volumen / Zeit]" fehlen mir glaube ein paar physikalische Kenntnisse ;)
Kannst du das nochmal bitte genauer erklären?
Das Thema mit der Differentialgleichung können wir ja danach angehen, wenn du noch Lust hast ;) oder vielleicht jeman anders.
Denn die hatte wir auch noch nicht in der Schule, habe nur letztens an einem Wissenschaftstag mal was von gehört, als uns eine Professorin erklärt hat, dass sin(x) die einzige Lösung der Differentialgleichung y''+y=0 ist.
Aber sonst hatte ich auch noch nichts damit zutun.
Gibt es auch noch Alternativen dazu?
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Di 25.12.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> "Sei q(h) der Querschnitt der Flasche in Abhängigkeit vom
> Pegelstand. Dann gilt offenbar für die Pegelgeschwindigkeit
> v(h) in Abhängigkeit von der Höhe:
>
> v(h) * q(h) = Zulaufrate in [Volumen / Zeit] "
>
> Das kann ich leider nicht so nachvollziehen...
>
> Also q(h) ist dann sicher die Fläche des Querschnitts und
> hat dann die Form [mm]q(h)=\pi*f(h)²,[/mm] wenn f(x) die
> Randfunktion beschreibt, oder?
genau so ist es.
> Aber für "v(h)*q(h)=Zulaufrate in [Volumen / Zeit]" fehlen
> mir glaube ein paar physikalische Kenntnisse ;)
>
> Kannst du das nochmal bitte genauer erklären?
Stell dir vor, die Pegelgeschwindigkeit beträgt 3 Meter/Sekunde und der Querschnitt der Flasche ist 2 m².
Dann ist nach einer Sekunde ein Volumen von 6 m³ zugeflossen.
Denn das Volumen eines prismenartigen Körpers berechnet sich aus Grundfläche (hier: Querschnitt) mal Höhe.
Mach dir ruhig weitere Beispiele.
> Das Thema mit der Differentialgleichung können wir ja
> danach angehen, wenn du noch Lust hast ;) oder vielleicht
> jeman anders.
> Denn die hatte wir auch noch nicht in der Schule, habe nur
> letztens an einem Wissenschaftstag mal was von gehört, als
> uns eine Professorin erklärt hat, dass sin(x) die einzige
> Lösung der Differentialgleichung y''+y=0 ist.
> Aber sonst hatte ich auch noch nichts damit zutun.
>
> Gibt es auch noch Alternativen dazu?
ja, es geht auch mit folgender Überlegung:
Man berechnet das Volumen eines Körpers, indem man den Querschnitt über die Höhe integriert.
Also gilt:
[mm] $\int_0^h [/mm] q(x) dx = [mm] \text{Zulaufrate} [/mm] * t$
Denn Zulaufrate * t ergibt offenbar auch das eingelaufene Volumen nach Ablauf der Zeit t.
In dieser Gleichung kommt nur noch h und t vor.
Auflösen nach h (falls das geht) ergibt die Höhe in Abhängigkeit von der Zeit.
(Das ist im übrigen auch die Lösung der von mir genannten einfachen Differenzialgleichung mit getrennten Variablen)
Ableiten dieser Funktion nach t ergibt dann die Pegelgeschwindigkeit.
LG
Will
> Danke.
Bitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Di 25.12.2007 | | Autor: | Teufel |
Danke dir nochmal :) ich glaube jetzt ist das so weit klar.
War ja doch nicht so schwer!
Und das mit dem Integral am Ende leuchtet mir ein.
Ich glaube so ähnlich werde ich ihr das dann auch erklären, mit besten Grüßen von Mr. Köpper :P
Vielen Dank!
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