Pauli Matrizen - ONB < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Do 25.05.2006 | | Autor: | Sherin |
| Aufgabe | Seien
A = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }, [/mm] B = [mm] \pmat{ 0 & -i \\ i & 0 }, [/mm] C = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] die Pauli- Matrizen. Finde ein Skalarprodukt auf dem [mm] \IC-Vektorraum [/mm] M (2, [mm] \IC), [/mm] sodass [mm] (E_{2}, [/mm] A, B, C) eine Orthonormalbasis von M [mm] (2,\IC) [/mm] bilden.
Seien [mm] P_{i}^{+/-} [/mm] die Projektionen auf die zugehörige Eigenräume. Berechne die Skalarprodukte [mm] [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] 3 |
Hallo,
irgendwie komme ich nicht so ganz an diese aufgabe dran.. Ich habe überhaupt gar keine Idee, wie ich ein Skalarprdukt finden kann.. Steh total aufm schlauch!!
Wäre total dankbar, wenn mir irgendjemand einen ansatz geben könnte!
Lg,
Sherin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Do 25.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sherin!
> Seien
> A = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 },[/mm] B = [mm]\pmat{ 0 & -i \\ i & 0 },[/mm]
> C = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm] die Pauli- Matrizen. Finde
> ein Skalarprodukt auf dem [mm]\IC-Vektorraum[/mm] M (2, [mm]\IC),[/mm] sodass
> [mm](E_{2},[/mm] A, B, C) eine Orthonormalbasis von M [mm](2,\IC)[/mm]
> bilden.
>
> Seien [mm]P_{i}^{+/-}[/mm] die Projektionen auf die zugehörige
> Eigenräume. Berechne die Skalarprodukte [mm][/mm]
> für 1 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] 3
> Hallo,
> irgendwie komme ich nicht so ganz an diese aufgabe dran..
> Ich habe überhaupt gar keine Idee, wie ich ein Skalarprdukt
> finden kann.. Steh total aufm schlauch!!
Wie ist denn die allgemeine Form fuer ein Skalarprodukt auf einem $n$-dimensionalen [mm] $\IC$-Vektorraum? [/mm] (Tipp: es kann durch eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix mit bestimmten Eigenschaften dargestellt werden.)
Hier hast du an das Skalarprodukt gewisse Forderungen: Du willst, dass [mm] $E_n, [/mm] A, B, C$ eine ON-Basis bildet. Daraus erhaelst du Gleichungen fuer die Eintraege der beschreibenden Matrix des Skalarproduktes.
Stelle diese doch mal auf.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Do 25.05.2006 | | Autor: | Sherin |
Danke erstmal für die superschnelle antwort!!
Hmm.. das einzige was ich weiß ist, dass das skalarprodukt im Komplexen eine hermitesche positiv definite Sesquilinearform ist.. Aber wie kann ich das mit einer n x n Matrix darstellen?
Könntest du mir da nochmal weiterhelfen??
Lg,
Sherin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Galois |
Hallo Sherin!
Da Deine Frage inzwischen seit einige Stunden überfällig ist (möglicherweise bist Du irgendwie von felixf's "Beobachtungsliste" gepurzelt ![[cry01]](/images/smileys/cry01.gif "[cry01]") ), erlaube ich mir mal, Dir eine Antwort zu schreiben. 
> Hmm.. das einzige was ich weiß ist, dass das skalarprodukt im Komplexen eine hermitesche positiv definite Sesquilinearform ist.. Aber wie kann ich das mit einer n x n Matrix darstellen?
Bezüglich einer gegebenen Basis [mm]\{b_1,\dots,b_n\}[/mm] kann man einem Skalarprodukt [mm] $\langle\,,\,\rangle$ [/mm] auf einem n-dimensionalen komplexen Vektorraum V eine nxn-Matrix [mm]A=(a_{ij})_{ij}[/mm] zuordnen, indem man [mm] $a_{ij}:=\langle b_i,b_j\rangle$ [/mm] setzte.
Diese Zuordnung ist eine Bijektion zwischen der Menge der Skalarprodukte auf V und der Menge der positiv definiten hermiteschen nxn-Matrizen. Unbedingt zu beachten ist hierbei, daß diese Zuordnung von der gewählten Basis B abhängt!!!
Umgekehrt kann man mithilfe der Matrix A leicht das Skalarprodukt [mm] $\langle x,y\rangle$ [/mm] zweier Vektoren [mm]x,y\in V[/mm] bestimmen, indem man zunächst mittels der zuvor verwendeten Basis B den Vektorraum V mit dem [mm] $\mathbb{C}^n$ [/mm] identifiziert und dann [mm]\overline x^TAy[/mm] berechnet. (Ein Satz von dieser Art sollte auch in der Vorlesung dran gewesen sein. Falls nicht, müßte er spätestens nächste Woche kommen.)
Bei Deiner ursprünglichen Aufgabe hätte es allerdings genügt, den Raum [mm]M(2,\mathbb{C})[/mm] der komplexen 2x2-Matrizen in kanonischer Weise als den [mm] $\mathbb{C}^4$ [/mm] aufzufassen und auf diesem das Standard-Skalarprodukt zu betrachten, nämlich $ [mm] \langle\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4},\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4}\rangle=\overline x_1y_1+\overline x_2y_2+\overline x_3y_3+\overline x_4y_4$. [/mm] Bezüglich diese Skalarproduktes sind die 4 betrachteten Matrizen auf jeden Fall schon einmal paarweise orthogonal. Sie haben dann bloß noch nicht die richtige Länge, was sich aber durch eine einfache Abänderung des Skalarproduktes im Handumdrehen reparieren läßt.
Grüße,
Galois
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