Pascalsches Dreieck < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Aufgabe:
Beweise für 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n:
[mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k+1}
[/mm]
Welche Eigenschaft des Pascalschen Dreiecks kommt hierdurch zum Ausdruck? |
Den Beweis habe ich glaube ich richtig hinbekommen:
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k+1} [/mm]
= [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{(k+1)!*(n-k-1)!}
[/mm]
= [mm] \bruch{n!(k+1)+n!(n-k)}{(k+1)!*(n-k)!}
[/mm]
= [mm] \bruch{N!(k+t+n-k)}{(k+1)!*(n-k)!}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+1)!}{(k+1)!*(n-k)!}
[/mm]
= [mm] \vektor{n+1 \\ k+1}
[/mm]
Aber welche Eigenschaft des Pascalschen Dreiecks kommt dadurch zum Ausdruck und warum?
Danke für eure Hilfe!
MfG.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 So 05.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Sieht ok aus!
Und jetzt guck dir mal das Pascalsche Dreieck an: Es gibt doch einen Weg, immer die nächste Zeile des Dreiecks zu bestimmen.
Wenn man 2 nebeneinander stehende zahlen addiert, dann kriegt man die Zahl raus, die dann in der nächsten Zeile zwischen den beiden Zahlen steht
(neben den einsen kann man sich nullen hindenken)!
Also aus der 3. Zeile
1 2 1
kann man sofort die 4. Zeile
1 3 3 1 bilden.
Und daraus dann die 5. Zeile
1 4 6 4 1
u.s.w.
Und genau das hast du mit deiner Formel gezeigt. Denn das Pascalsche Dreieck kannst du auch mit Binomialkoeffizienten schreiben. Die Spitze (1. Zeile) ist [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
2. Zeile: [mm] \vektor{1 \\ 0} \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
3. Zeile [mm] \vektor{2 \\ 0} \vektor{2 \\ 1} \vektor{2 \\ 2}
[/mm]
4. Zeile: [mm] \vektor{3 \\ 0} \vektor{3 \\ 1} \vektor{3 \\ 2} \vektor{3 \\ 3}
[/mm]
...
Prinzip klar? Und die Formel sagt dir jetzt: Ein Binomialkoeffizient und der rechts daneben (wegen dem k+1) ergibt den Binomialkoeffizienten in der nächsten Zeile (wegen n+1), der zwischen den beiden ist (k+1, da die nächste Zeile ja länger ist, wird k+1 etwas weiter nach links verschoben, sodass das hinhaut).
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
| |
|
Danke für die große Hilfe! Jetzt habe ich das endlich verstanden! =)
MfG
|
|
|
|
